Представление о конкретном как о чувственно-наглядном: представление, ведущее на практике к тому, что под видом конкретного ребенку вдалбливается в голову самое что ни на есть абстрактное. Представление о количестве (о числе) как о чем-то таком, что получается в результате полнейшего отвлечения от всех и всяких качественных характеристик вещей, в результате отождествления мальчиков с пудами, а яблок — с аршинами, а не в результате анализа четко выявленного качества, как это показала логика уже более 150 лет назад… Представление о понятии как о слове-термине, выражающем то абстрактно-общее, что имеется у всех вещей данного рода. Такое поверхностное представление о понятии и ведет к тому, что вместо (и под видом) конкретного понятия ребенок усваивает лишь абстрактное, словесно зафиксированное представление. Представление о противоречии как о чем-то «нехорошем» и «нетерпимом», как лишь о показателе неряшливости и неточности мышления, как о чем-то таком, от чего следует поскорее избавиться…

Все это представления, которые на сегодняшний день, с точки зрения современной логики, — с точки зрения диалектики, как логики и теории познания современного материализма, — должны быть расценены как поверхностные и архаически-наивные.

Чтобы школа могла учить и действительно учила мыслить, надо решительно перестроить всю дидактику на основе современного — марксистско-ленинского — понимания всех логических категорий, то есть понятий, выражающих подлинную природу развивающегося мышления. Иначе разговоры о совершенствовании дидактики останутся лишь благими пожеланиями, а учебный процесс и впредь будет формировать «способные умы» лишь в виде исключений из правила. А в отношении «одаренных» мы по-прежнему будем возлагать все свои надежды на милости матушки-природы. Будем ждать их вместо того, чтобы взять.

Впрочем, некоторые сдвиги уже намечаются. Так, в Институте психологии АПН СССР под руководством Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова начаты исследования, специально направленные на то, чтобы подвести под педагогический процесс фундамент современных философско-логических представлений о мышлении и его связи с созерцанием (с наглядностью), о связи всеобщего с единичным, абстрактного с конкретным, логического с историческим и т. д. [21]

Индивидуальное усвоение знаний здесь стремятся организовать так, чтобы оно в сжато-сокращенной форме воспроизводило действительный процесс их рождения и развития. Ребенок с самого начала становится не потребителем готовых результатов, запечатленных в абстрактных дефинициях, аксиомах и постулатах, а, так сказать, «соучастником» творческого процесса.

Не нужно, конечно, думать, что каждый ребенок здесь вынужден самостоятельно изобретать все те формулы, которые сотни, а может быть и тысячи лет назад уже изобрели для него люди ушедших поколений. Но повторить логику пройденного пути он должен. Тогда сами формулы усваиваются им не как магические абстрактные рецепты, а как реальные, совершенно конкретные общие принципы решения реальных же, конкретных задач.

В частности, на основе специальных исследований психологи убедились, что описанная нами выше методика преподавания счета дает детям не понятие числа, а лишь два абстрактных, притом противоречащих одно другому, представления о числе. Два частных случая числового выражения реальных вещей — вместо действительно общего принципа.

И тогда пришли к выводу, что сначала нужно объяснить детям действительно общую природу числа, а уже потом показывать два частных случая его применения.

Но само собой ясно, что ребенку не сообщишь «понятия» числа, очищенное от каких бы то ни было следов «наглядности», от связи с каким-нибудь одним частным случаем. Поэтому надо искать и найти такой частный (а потому чувственно-предметный) случай, где число и необходимость действий с числом выступали бы перед ребенком в общем виде. Нужно искать такое частное, которое выражало бы прежде всего именно общую природу числа, а не подсовывало бы опять лишь и только частное ее проявление.

Пытаясь решить эту задачу — отчасти психологическую, отчасти логическую и математическую, психологи поняли, что неправильно вообще начинать обучение детей математике с числа, то есть с операции счета, сосчитывания, безразлично — единичных вещей или их составных частей [22]. Есть все основания полагать, что действия с числами, составляющие традиционную арифметику, — далеко не самые простые, а арифметика вовсе не составляет самого «первого этажа» математического мышления. Скорее таким этажом оказываются некоторые понятия, обычно относимые к алгебре.

Опять парадокс. Ведь по традиции считается издавна, что алгебра — вещь более сложная, чем арифметика, посильная лишь шестикласснику и в «истории математики» оформившаяся позже. Анализ, однако, показывает, что и в истории знания алгебра необходимо должна была возникнуть не позже арифметики. Конечно, речь идет о действительной истории математического развития людей, а не об истории математических трактатов, которая отражала подлинную историю лишь «задним числом», а потому — вверх ногами.

Как показывают исследования, простейшие количественные соотношения, которые описывает алгебра, и в истории были осознаны раньше, чем человек вообще изобрел число и счет. В самом деле, раньше, чем люди изобрели число, счет, сложение, вычитание, деление и умножение чисел, они по необходимости должны были пользоваться такими словами, как «больше», «меньше», «дальше», «ближе», «потом», «раньше», «равно», «неравно» и т. п. Именно в них нашли свое выражение общие количественные (пространственно-временные) соотношения между вещами, явлениями, событиями.

Но в специально математических трактатах самая ранняя стадия математического развития мышления, естественно, зафиксирована не была. И если реальная история развития математического мышления началась раньше, чем появились первые теоретические трактаты по математике, то и логическая последовательность преподавания математики (= развития математической способности) должна начинать с действительного «начала». С правильной ориентировки человека в количественном плане реальной действительности, а не с числа, которое представляет собою лишь позднюю (а потому и более сложную) форму выражения количества, лишь частный случай количества.