Эта последовательность соответствует внешнему виду периодической таблицы. Так, у атомов элементов из групп 1 и 2 (группы, содержащие, например, натрий и магний) s– орбиталь занята. На s– орбитали может находиться до двух электронов, что соответствует двум группам в этой части таблицы: в группе 1 на орбитали находится один электрон, а в группе 2 — два электрона. В правой стороне таблицы имеется блок из шести групп: в этих элементах электроны находятся в процессе заполнения трех p– орбиталей соответствующих оболочек атомов. На этих орбиталях может находиться до шести электронов: элементы группы 13 (такие, как бор, B) имеют один такой электрон, элементы группы 14 (такие, как углерод, C) — два, и так далее, до заполненных орбиталей в группе 18, состоящей из почти полностью инертных, так называемых благородных газов. Узкая полоса в середине таблицы, переходные металлы, состоят из элементов, в которых заполняются d– орбитали соответствующих оболочек: пять d– орбиталей могут вместить до десяти электронов, что в точности соответствует десяти элементам в каждом ряду этого блока групп. Внутренние переходные элементы являются элементами заполняются f– орбитали. В каждой оболочке имеется семь f– орбиталей, что соответствует четырнадцати членам в каждом ряду этого блока.

Мы совершили полный круг. Химики девятнадцатого века разглядели родственные отношения между элементами. Полный перечень родственных связей — настолько, насколько элементы уже были открыты — был создан Менделеевым к концу века. Однако его конструкция носила эмпирический характер, и понимания того, почему элементы приходятся друг другу кузенами, в то время быть не могло. Как же могло случиться, что один сорт вещества является родственным другому? На этот вопрос удалось пролить свет, когда в начале двадцатого века стала понятна структура атомов. Как только в 1920-х гг. были обнаружены ядра и правила, управляющие размещением электронов, немедленно стало ясно, что периодическая таблица является отображением решений уравнения Шредингера. Таблица представляет собой математическую картину вещества. С помощью двух простых идей — что электроны самоорганизуются так, чтобы занять наиболее низкий из возможных уровень энергии, и что на любой данной орбитали не могут находиться более двух электронов — устройство вещества стало доступным для понимания. Химия есть сердце понимания вещества, а в самом сердце химии лежит главное, о чем она повествует, — атомы.

Может ли быть так, что красота есть ключ к пониманию этого прекрасного мира? Греческий скульптор Поликлит из Аргоса, расцвет деятельности которого пришелся на 450-420 гг. до н.э., заложил основы нашего современного понимания фундаментальных частиц, когда в своем Каноне, введении в эстетику, писал, что «красота приходит мало-помалу посредством многих чисел». Поликлит писал о симметрии, динамическом равновесии расслабленных и напряженных частей человеческого тела и относительной ориентации этих частей, организующихся в гармоническое целое. Через две с половиной тысячи лет мы возвращаемся к математическим аспектам симметрии — и к симметрическим аспектам математики, — чтобы выстроить свое понимание фундаментальных сущностей, из которых высечено вещество, и динамического равновесия сил, которые удерживают эти сущности вместе.

Если под красотой мы имеем в виду симметрию и контролируемые нарушения симметрии, Мондриана, переходящего в Моне, то красота, конечно, лежит в сердце мира. Часть этой красоты открыта для непосредственного восприятия, например, когда мы смотрим на прекрасное произведение искусства. Другая часть, однако, глубоко спрятана и неочевидна для необученного взгляда. Тысячи лет, прошедшие со времени Поликлита, были использованы для того, чтобы выкопать скрытую красоту, дать ее оценку в математической форме, и затем, используя математические средства, провести более глубокие раскопки ландшафта реальности. Как я уже подчеркивал, по мере развития науки, ее глубина и богатство возрастают за счет увеличения абстрактности ее концепций. Это возрастание нигде не прослеживается лучше, чем в открытии симметрии и в развернутом ее использовании в качестве инструмента познания.

Теперь я проведу вас, настолько подробно, насколько мне удастся, по пути, ведущем от непосредственно воспринимаемого к воображаемому, и продемонстрирую ту власть, которую дает в наши руки симметрия. Этот путь поведет нас на самый край обрыва того, что еще доступно воображению.

Объект является симметричным, если действие — которое мы называем преобразованием симметрии, — произведенное над ним, оставляет его неизменным по внешнему виду. Другими словами, если вы на мгновение закроете ваши глаза, то когда вы откроете их снова, вы не сможете сказать, совершил я какое-либо действие или нет. Представьте себе гладкий мяч без украшений; закройте на мгновение глаза, откройте их: повернул ли я шар? Действия, которые мы рассматриваем, могут быть вращением вокруг оси или отражением в зеркале, но существуют и другие преобразования симметрии, которые нам еще предстоит оценить, некоторые из которых представляют собой составные комбинации более простых действий, например, движение в пространстве (называемое трансляцией), за которым следует отражение в зеркале. Вы можете найти отражение даже в музыке. Одним особенно прозрачным примером является поддельное двухчастное сочинение «Моцарта», которое начинается так

и завершается второй частью

являющейся отражением первой части.

Некоторые объекты являются более симметричными, чем другие. Сфера в высокой степени симметрична — это один из самых симметричных объектов, с которыми мы обычно сталкиваемся. Подумайте о числе способов, которыми я могу изменить положение сферы, пока ваши глаза закрыты, так, что вы не сможете обнаружить это, открыв глаза. Я могу повернуть ее вокруг любой из бесконечного числа осей, проходящих через ее центр, на любой угол, лежащий между 0 и 360°. И это еще не все. Я могу представить себе зеркало, проходящее через центр сферы в любом из бесконечного числа направлений, и вы не сможете обнаружить отражение одной полусферы в другую. Есть и другие действия, которые я могу произвести в уме: я могу вообразить, что я беру каждый атом шара на прямой линии, проходящей через центр сферы, и перемещаю этот атом на равное расстояние от центра сферы с другой стороны. Таким путем я перестраиваю шар с помощью операции, известной как инверсия. Вы не сможете утверждать, что я проделал это, поскольку шар после такой инверсии выглядит точно таким же, каким был вначале.

Куб гораздо менее симметричен, чем сфера. Существует несколько действий, которые я могу над ним произвести так, чтобы вы об этом не узнали. Я могу повернуть куб на 90° и 180° по часовой стрелке и против нее вокруг оси, проходящей через центры любой из трех пар противоположных граней. Я могу повернуть его на 120° по часовой стрелке и против нее вокруг любой из четырех осей, проходящих через противоположные углы. Я могу отразить его от любой из трех плоскостей, в которой я могу поместить зеркало, разрезающее куб пополам. Я могу перестроить куб с помощью инверсии относительно его центра. Я бы мог даже оставить куб нетронутым: вы бы не узнали. Поэтому ничегонеделание — называемое тождественным преобразованием— тоже является преобразованием, которое я должен включить в рассмотрение симметрии объекта. Это дает много различных действий, которые я могу проделать так, чтобы вы не узнали; поэтому куб является высоко симметричным, но совсем не таким симметричным, как сфера, с ее бесконечным числом незразличимых преобразований.