Категориальные грамматики имеют своим источником труды польского логика Айдукевича (последователя Лесневского); затем они были разработаны Бар-Хиллелом, Ламбеком и другими современными логиками и лингвистами. (Выбор термина «категориальный» в этой связи объясняется частными деталями исторического развития логики и философии, в которые мы здесь не будем вдаваться.)

Категориальная система имеет две основные грамматические категории — предложение и существительное; мы будем изображать их как и n соответственно. Всем лексическим единицам, отличным от существительных, придается производная категориальная классификация в лексиконе в соответствии с их способностью сочетаться друг с другом или с одной из основных категорий в структуре составляющих предложения. Производные категории являются сложными в том смысле, что они указывают одновременно: (i) с какой другой категорией может сочетаться рассматриваемый элемент для образования составляющей предложения и (И) категориальную классификацию составляющей, получающейся в результате этой операции, например: элемент типа run 'бежать' или exist 'существовать' («непереходный глагол») может сочетаться с существительным (в качестве «подлежащего»), образуя предложение, например: John ran 'Джон бежал' (мы продолжаем пренебрегать вопросом глагольного времени и особенностями «согласования»).

В «квазиарифметической» системе обозначений Бар-Хиллела категориальная классификация элементов типа run может быть выражена в виде «дроби», знаменатель которой обозначает, с какой другой категорией run и т. п. может сочетаться, а числитель обозначает категорию результирующей конструкции. Таким образом, лексическая классификация элемента run и т. п. как

указывает на то, что такие элементы, сочетаясь с существительными, образуют предложения. Если дана такая классификация run, то при условии, что John — это (n), мы знаем, что John ran — грамматически правильное предложение. Можно автоматически установить этот факт посредством простого правила «сокращения», аналогичного арифметическим правилам сокращения; точно так же, как

так и

(то есть мы «сокращаем» числитель и знаменатель, когда они тождественны, и в данном случае остаемся с — символом, указывающим, что это выражение является предложением; точка используется здесь для изображения линейной конкатенации). Но система должна быть также способна отвергнуть как грамматически неправильные такие последовательности, как

(Ran John). Мы, таким образом, должны точно указать направление комбинаторной способности элемента — левое или правое. Мы будем обозначать его посредством стрелки, присоединенной к горизонтальной «дробной» линии; таким образом, обозначает элемент, который сочетается с существительным, стоящим слева, образуя предложение, тогда как, скажем, обозначает элемент (например, «прилагательное» типа poor 'бедный', old 'старый' и т. п.), который, сочетаясь с существительным, стоящим справа от него, образует имя (или именную группу).

Производные категории могут иметь в качестве числителя или знаменателя не только основные категории, но также и производные категории. Например, «наречие», сочетаясь с «глаголом», стоящим слева от него, образует «глагол» (или глагольную группу); другими словами, оно сочетается со стоящим слева от него элементом, который, сочетаясь со стоящим слева от него именем, образует предложение (для простоты мы будем рассматривать только «непереходные глаголы» и пренебрегать тем фактом, что «наречия» могут быть также отнесены к другим категориальным классам). Это обозначается «дробью»:

Категориальная система, только что описанная нами, сравнительно проста, но для наших целей она достаточно удовлетворительна. Это двунаправленная система в том смысле, что она предусматривает сочетания с элементами слева или справа; мы могли бы расширить ее разными способами (допустив возможность появления двух или более конкатенированных категорий в знаменателе производной категории; допустив возможность одновременного сочетания данного элемента как с элементом, стоящим слева, так и с элементом, стоящим справа, и т. д. — мы здесь не будем вдаваться в последствия такого расширения); с другой стороны, ее можно было бы ограничить (сделать однонаправленной), если допустить возможность сочетаний только в одном определенном направлении. Отметим также, что эта категориальная система, подобно рассмотренной выше системе «подстановок», не пригодна для описания прерывных составляющих (ср. § 6.2.8).

Здесь мы введем для экономии места условную запись, которая не окажет воздействия на формальные качества системы. Мы будем записывать «дроби» как упорядоченную пару заключенных в скобки символов с числителем на первом месте и знаменателем на втором и стрелкой над знаменателем, указывающей направление. По этому условию run будет характеризоваться как

, poor — как , а «наречие» типа away 'прочь'— как .

Теперь мы можем проиллюстрировать действие этой простой двунаправленной категориальной грамматики относительно предложения Блумфилда Poor John ran away. Категориальная классификация всех лексических элементов была приведена выше. Мы запишем их под словами в предложении:

 Теперь о «сокращениях». Ясно, что на первой стадии существует три возможности: (1а) «сокращение» poor и John; (1b) John и ran и (lc) ran и away. Если выбрать (lb), то в результате получится: