Если величина измерена, то результат выражается некоторым числом единиц. Длина отрезка может быть равна 3 м 7 см, масса некоторого объекта равна 2 кг 3 г, измеренный промежуток времени — стольким-то минутам или секундам. В каждом таком случае результат измерения выражается числом. Однако одного только числа недостаточно для описания некоторых физических понятий. Признание этого факта отмечает значительный успех в научном исследовании. Направление, так же как и число, существенно, например, для характеристики скорости. Такая величина, обладающая и численным значением, и направлением, называется вектором. Обычный символ для него — стрелка. Скорость может быть представлена стрелкой или, короче говоря, вектором, длина которого в некотором избранном масштабе единиц выражает численное значение скорости, а направление есть направление движения.

Если четыре автомашины расходятся с численно одинаковой скоростью из одного пункта, то их скорости могут быть представлены четырьмя векторами одинаковой длины, как это видно на рис. 1. В избранном масштабе 1 см соответствует 40 км/ч. Таким путём любая скорость может быть обозначена вектором, и наоборот, если известен масштаб, то из такой векторной диаграммы может быть установлена скорость.

Рис. 1

Если две автомашины проходят по автостраде мимо друг друга и их спидометры показывают 100 км/ч, то мы характеризуем их скорости двумя различными векторами со стрелками, заострёнными в противоположных направлениях (рис. 2).

Рис. 2

Точно так же и у стрелок, указывающих направление «в город» и «из города» в нью-йоркском метро, острия торчат в противоположных направлениях. Но все поезда, идущие в город с численно равной скоростью, имеют одинаковую скорость и по направлению, которая может быть представлена одним и тем же вектором. Однако вектор ничего не говорит о том, какую станцию поезд проходит или по какому из многих путей он идёт. Другими словами, согласно выбранному условию, все такие векторы, какие изображены на рис. 3, можно считать равными: они лежат либо вдоль одной и той же линии, либо вдоль ей параллельных и имеют стрелки, заострённые в том же самом направлении.

Рис. 3

На следующем рисунке (рис. 4) показаны различные векторы, ибо они различаются либо по длине, либо по направлению, либо по тому и другому одновременно.

Рис. 4

Те же самые четыре вектора можно нарисовать другим путём, так, чтобы все они выходили из одной точки (рис. 5). Так как исходная точка не существенна, то эти векторы могут представлять скорости четырёх автомашин, движущихся из одного пункта, либо же скорости четырёх автомашин в различных частях страны, путешествующих с указанными скоростями в указанных направлениях.

Рис. 5

Это векторное представление можно применить к описанию обсуждавшихся ранее фактов прямолинейного движения. Мы говорили о тележке, движущейся равномерно по прямой и получающей толчок в направлении её движения, который увеличивает её скорость. Графически это можно представить двумя векторами: коротким, обозначающим скорость до толчка, и длинным, имеющим то же направление и обозначающим скорость после толчка (рис. 6).

Рис. 6

Значение пунктирного вектора ясно. Он представляет собой изменение скорости, вызванное толчком. В случае, когда сила направлена против движения и движение замедляется, диаграмма выглядит иначе (рис. 7).

Рис. 7

Пунктирный вектор опять соответствует изменению скорости, но в этом случае его направление иное. Ясно, что не только сами скорости, но и их изменения — тоже векторы. Но всякое изменение скорости вызвано внешней силой; следовательно, и сила должна быть представлена тоже вектором. Для того чтобы характеризовать силу, недостаточно установить, с каким усилием мы толкаем тележку; мы должны также сказать, в каком направлении мы толкаем. Сила, как и скорость, и её изменение, должна быть представлена вектором, а не только одним числом. Поэтому внешняя сила — это тоже вектор, который должен иметь то же направление, что и изменение скорости. На обоих рисунках пунктирные векторы показывают как направление силы, так и изменение скорости.

Здесь скептик может заметить, что он не видит никакого преимущества от введения векторов. Всё, что было сделано, — это перевод признанных ранее фактов на необычный и сложный язык. В этой стадии, в самом деле, было бы трудно убедить скептика, что он не прав. Пока он действительно прав. Но мы увидим, что именно этот странный язык приводит к важным обобщениям, в которых векторы оказываются существенными.

До тех пор пока мы имеем дело с прямолинейным движением, мы далеки от понимания движений, наблюдаемых в природе. Мы должны рассмотреть криволинейные движения. Наш следующий шаг — определить законы, управляющие такими движениями. Это нелёгкая задача.

В случае прямолинейного движения понятия скорости, изменения скорости и силы оказались чрезвычайно полезными. Но мы не видим непосредственно, как можно применить их к случаю криволинейного движения. В самом деле, можно представить себе, что старые понятия окажутся непригодными для описания движения в общем случае и что нужно создать новые понятия. Следует ли нам пробовать идти старыми путями или нужно искать новые?

Обобщение понятий — процесс, часто применяемый в науке. Метод обобщения не определён однозначно, ибо обычно существует множество путей его осуществления. Однако при всяком обобщении должно быть строго удовлетворено одно требование: любое обобщённое понятие должно сводиться к первоначальному, когда выполнены первоначальные условия.