Очевидно, должно быть два решения, поскольку обе пары карточек — две первые и две последние — расположены совершенно симметрично.

103. Цифры и квадраты.Какой наименьший квадрат целого числа оканчивается наиболее длинной последовательностью одинаковых цифр?

Так, если бы наиболее длинная последовательность одинаковых цифр составила пять, то нам подошло бы число 24 677 777 (разумеется, если бы оно было наименьшим квадратом, но это неверно). Нуль не считается допустимой цифрой.

104. Две суммы.Можете ли вы расположить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 двумя группами по четыре цифры в каждой так, чтобы суммы чисел, составленных из цифр каждой группы, были равны между собой?

Очень просто получить ответ, заменив 9 на 6. Например, каждая из сумм двух групп чисел 1, 2, 7, 8 и 3, 4, 5, 6 равна 18. Но такая замена не допускается.

105. Повторяющаяся четверка цифр.Если мы умножим 64 253 на 365, то получим 23 452 345, где первые четыре цифры повторяются.

На какое наибольшее число нужно умножить 365, чтобы получить аналогичное произведение, содержащее восемь цифр, из которых первые четыре повторяются?

106. Легкое деление.Разделив число 8 101 265 822 784 на 8, вы убедитесь, что ответ можно получить, просто переставив 8 из начала в конец числа!

Не могли бы вы найти число, начинающееся с 7, которое можно разделить на 7 столь же простым способом?

107. Недоразумение.Один американский читатель попросил меня найти число, составленное из любого количества цифр, для которого деление на 2 можно выполнить, переставив последнюю цифру в начало. По-видимому, эта задача возникла у него после того, как он познакомился с неправильно сформулированной предыдущей задачей. Если бы требовалось переставить в конец первую цифру, то ответом служило бы число 315 789 473 684 210 526, а отсюда легко было бы найти решение, начинающееся с любой цифры. Но если требуется переставить цифру из конца в начало, то для делителя 2 решения нет. Однако существует решение для делителя 3. Не могли бы вы его найти?

108. Две четверки.Меня постоянно спрашивают о старой головоломке «Четыре четверки». Я опубликовал ее в 1899 г., но потом выяснил, что впервые она была опубликована в первом томе журнала Knowlegeза 1881 г. С тех пор к ней обращались различные авторы. Формулируется головоломка так: «Найти все возможные числа, которые можно получить из четырех четверок (не больше и не меньше) с помощью различных арифметических знаков. Например, число 17 можно представить в виде 4 x 4 + 4/4, число 50 — в виде 44 + 4 +

и т. д. Аналогичным образом можно записать все числа до 112 включительно, используя лишь знаки сложения, вычитания, умножения, деления, квадратного корня, десятичной точки [7] и знака факториала (например, можно писать 4!, что означает всего лишь 1 x 2 x 3 x 4, или 24). Число 113 уже нельзя представить в виде комбинации четырех четверок.

Необходимо выяснить, какие числа можно записать с помощью одной, двух и трех четверок. Большие трудности возникают из-за того, что некоторые числа нелегко поддаются такому представлению. Например, мне кажется, что лишь очень немногие смогут выразить 64 с помощью двух четверок. Сумеет ли это сделать читатель?

109. Две цифры.Напишите любое двузначное число (две различные цифры, отличные от нуля), а затем выразите его, используя те же цифры, взятые в обратном порядке (в случае необходимости разрешается использовать знаки арифметических действий). Например, число 45 = 5 x 9 подошло бы, если бы вместо 9 справа стояла цифра 4, а число 81 = (1 + 8) 2могло бы служить решением задачи, если бы справа в показателе степени не появилась цифра 2.

110. Цифровые совпадения.Если я перемножу две девятки и сложу 9 и 9, то получу 81 и 18 — два числа, состоящие из одинаковых цифр. Если я перемножу и сложу 2 и 47, то получу 94 и 49 — числа с одинаковыми цифрами, Если я перемножу и сложу 3 и 24, то получу 72 и 27 — два числа, состоящие из одинаковых цифр.

Можете ли вы найти два числа, перемножив и сложив которые вы получили бы два новых числа с тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет два решения.

111. Квадраты-палиндромы.Вот любопытный предмет для исследований: найти квадраты целых чисел, которые можно читать как обычным образом, так и справа налево. Некоторые из них найти очень легко. Например, квадраты чисел 1, 11, 111 и 1111 равны соответственно 1, 121, 12 321 и 1 234 321. Все получившиеся числа — палиндромы, и данное правило применимо к любому числу единиц, не превосходящему 9. Однако существуют и другие случаи, которые мы могли бы назвать нерегулярными. Например, 264 2= 69 696, а 2285 2= 5 221 225.

Во всех приведенных выше примерах число цифр было нечетным. Не мог бы читатель привести примеры с четным числом цифр?

112. Разложение на множители.На какие множители разлагается число 1 000 000 000 001? На этот вопрос легко ответить, зная кое-что о числах такого частного вида. Не менее легко указать два сомножителя, если между двумя единицами вставить не 11 нулей, а, например, 101 нуль,

Существует одно любопытное простое и красивое правило для всех подобных случаев. Не сумеете ли вы найти его?

113. Два множителя.Найдите два целых числа, разность между которыми минимальна, а их произведение равно 1 234 567 890.

114. Деление на 11.Если девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 записаны в случайном порядке, например 412 539 768, то какова вероятность того, что получившееся число делится на 11? То число, которое я выписал, конечно, не делится на 11, но если в нем поменять местами 1 и 8, то оно будет делиться на 11.

115. Деление на 37.Мне хотелось бы узнать, делится ли число 49 129 308 213 на 37, и если нет, то чему равен остаток. Как мне это сделать, не выполняя деления? Оказывается, что при умелом подходе ответ на интересующий меня вопрос можно получить за несколько секунд.