И.М.Яглом много раз советовал мне изучать вырожденные неевклидовы геометрии. Он убедил Перепелкина в важности статьи Дункана Соммервилля "Классификация проективных метрик". Перепелкин поручил Железиной изучение геометрий, кратко описанных в статье Соммервилля, и перевел для нее эту статью на русский язык.

После смерти Перепелкина руководство диссертацией Железиной было поручено мне. Мы с Железиной ограничились рассмотрением трехмерных пространств, в которых роль абсолюта играет пара вещественных или мнимо сопряженных плоскостей и пара вещественных или мнимо сопряженных точек на линии их пересечения. В своей диссертации Железина показала, что многообразия прямых линий этих пространств допускают интерпретации в виде комплексной и двойной евклидовых плоскостей и в виде двойной псевдоевклидовой плоскости. Эти интерпретации можно получить предельными переходами из интерпретаций А. П. Котельникова.

Железина защитила диссертацию в МГПИ и много лет работала доцентом в разных институтах. Она умерла в 1996 г.

На III съезде математиков СССР после моего доклада об интерпретациях геометрии Лобачевского, ко мне подошла аспирантка из Кирова Тамара Чахленкова и сказала, что тема ее диссертации - как раз интерпретации геометрии Лобачевского, и спросила мое мнение о диссертабельности этой темы. Я ответил, что написать диссертацию по этой теме совершенно невозможно. Тогда она попросила меня дать ей другую тему и быть ее руководителем. Я ответил согласием, и, вернувшись в Киров, Чахленкова провела через Ученый совет своего института решение о замене ее руководителя, и приехала ко мне в Москву. Я поручил ей изучение n- мерных вырожденных неевклидовых геометрий, частными случаями которых при n = 3 являются геометрии, изучавшиеся Железиной. Абсолюты этих геометрий состоят из вещественного или мнимого конуса второго порядка с плоской вершиной и из вещественной или мнимой квадрики в этой плоской вершине. Если плоская вершина конуса - гиперплоскость, то пространство - евклидово или псевдоевклидово вместе с его абсолютом, а если вершина конуса - точка, то пространство - коевклидово или копсевдоевклидово, т.е.соответствует евклидову или псевдоевклидову по принципу двойственности проективной геометрии.

Позже обнаружилось, что пространство, изучавшееся Железиной в случае мнимого абсолюта определил в 1911 г. Бляшке и назвал его "квазиэллиптическим". Поэтому пространства Чахленковой называются "квазиэллиптическими" и "квазипсевдоэллиптическими".

Чахленкова защитила диссертацию в МГПИ, работала доцентом сначала в Мурманском, а затем в Тамбовском пединститутах.

В Черновцах я познакомился с преподавательницей университета Евгенией Ясинской, которая попросила дать ей тему научной работы. Я предложил ей изучить геометрию самых общих просранств, определенных Соммервиллем. Ясинская защитила кандидатскую диссертацию в МГПИ и много лет работала доцентон в Черновецком университете.

Мы с И.М.Ягломом написали обзорную статью "Проективные метрики" о вырожденных неевклидовых пространствах и использовали результаты диссертации Ясинской, которую включили в число авторов статьи. Статья была напечатана в "Успехах математических наук" в 1964 г.

Пространства, абсолюты которых состоят из гиперплоскости с евклидовой геометрией, совпадают с галилеевыми пространствами, определенными А.П.Котельниковым, а пространства, получаемые из галлилеевых заменой евклидовой геометрии псевдоевклидовой, называются псевдогаллилеевыми. Если заменить в определении галлилеевых и псевдогаллилеевых пространств евклидовы и псевдоевклидовы геометрии коевклидовыми или копсевдоевклидовыми геометриями, мы получим изотропные и псевдоизотропные пространства. Галлилеева плоскость совпадает с изотропной плоскостью, абсолют этой плоскости - прямая линия с одной точкой на ней. Упоминавшиеся выше циклы изотропной плоскости являются коническими сечениями, которые касаются прямой абсолюта в его точке.

4-мерное изотропное пространство образует геометрическую интерпретацию многообразия событий (точек в определенные моменты времени) классической механики Галлилея - Ньютона., этим объясняется термин "галлилеево пространство".

Владимир Абрамович Рохлин

В 1958 -1960 гг. на кафедре математики Коломенского пединститута работали мои товарищи по аспирантуре МГУ Владимир Абрамович Рохлин и его жена Анна Александровна Гуревич.

В.А.Рохлин родился в 1919 г. в Баку. Его отец был социал-демократом - меньшевиком. После установления советской власти в Баку он был председателем Бакинского совета. По линии матери Рохлин являлся родственником Левинсона - отца Корнея Чуковского. Рохлин был на два года моложе своих одноклассников в школе и однокурсников в университете. В начале войны Рохлин пошел в Народное ополчение, попал в окружение. Он был ранен и прятался в сарае у крестьянки. Оправившись, он попытался перейти линию фронта и попал в плен к немцам. В плену он выдавал себя за азербайджанца и это спасло ему жизнь. Он бежал из лагеря три раза, но снова попадал в руки немцев.

Когда Красная армия подходила к лагерю, где находился Рохлин, военнопленные перебили деревянными и железными прутьями охрану лагеря и освободились. Рохлин попал в действующую армию, участвовал во взятии Берлина.

После окончания войны он проходил "спецпроверку" в советском лагере. Ему удалось сообщить об этом в Москву. А.Н.Колмогоров и Л.С.Понтрягин обратились к министру госбезопасности с просьбой ускорить проверку. Их просьбу выполнили и после проверки Рохлин был откомандирован в распоряжение Академии наук СССР. В Москве Рохлин снова стал аспирантом Понтрягина, а после защиты кандидатской диссертации в 1947 г. работал в Математическом институте Академии наук СССР, откуда был уволен как еврей. Но даже в этих условия Рохлин стал выдающимся топологом и защитил докторскую диссертацию. Он работал в Лесотехническом институте под Москвой, в Архангельском лесотехническом институте и в Ивановском пединституте, а затем перешел в Коломну. Рохлин способствовал значительному повышению уровня преподавания в Коломенском пединституте.

В 1960 г. А.Д.Александров пригласил В.А.Рохлина на должность профессора Ленинградского университета, где Рохлин работал до своей смерти в 1984 г.

Сын В.А.Рохлина Володя - ныне профессор Йэльского университета в США.

Коломенские ученики - геометры

Моими первыми коломенскими аспирантками были три выпускницы 1958 г.: Наташа Пецко, которая училась у меня в Загорске, Люда Румянцева и Тамара Климанова.

Румянцевой я поручил изучение симпектической кватернионной геометрии, группа симплектических преобразований которой является одной из некомпактных простых групп Ли класса D. На эту тему она написала кандидатскую диссертацию.

С Климановой и Пецко я изучал теорию скользящих векторов в многомерных евклидовых и квазиэллиптических пространствах, и в r- квазиэллиптических пространствах, получаемых предельными переходами из квазиэллиптических.Нашу совместную статью мы назвали "Проективная теория векторов" - так же, как статья А.П.Котельникова, в которой эта проблема была решена для 3-мерных неевклидовых пространств.

В качестве темы диссертации я предложил Пецко "Комплексную линейчатую геометрию", обобщающую содержание одноименной книги Д.Н. Зейлигера.