Еще одна, внешне простая антиномия была указана в самом начале нашего века Д. Берри.

Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются, например, в русском языке и содержат меньше чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен, состоящих менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение: «Наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов», является как раз именем этого числа! Это имя только что сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени!

Хорошо известно описание Н. Гоголем игры Чичикова с Ноздревым в шашки. Их партия так и не закончилась. Чичиков заметил, что Ноздрев мошенничает, и отказался играть, опасаясь проигрыша. Недавно один специалист по шашкам восстановил по репликам игравших ход этой партии и показал, что позиция Чичикова не была еще безнадежной.

Допустим, что Чичиков все-таки продолжил игру и в конце концов выиграл партию, несмотря на плутовство партнера. По уговору проигравший Ноздрев должен отдать Чичикову пятьдесят рублей и «какого-нибудь щенка средней руки или золотую печатку к часам». Но Ноздрев скорее всего отказывается платить, упирая на то, что он сам всю игру мошенничал, а игра не по правилам — это как бы и не игра. Чичиков может возразить, что разговор о мошенничестве здесь ни к месту: мошенничал сам проигравший, значит, он тем более должен платить.

В самом деле, должен был бы платить Ноздрев в подобной ситуации или нет? С одной стороны, да, поскольку он проиграл. Но с другой — нет, так как игра велась не по правилам, а это вовсе и не игра. Значит, ни выигравшего, ни проигравшего в такой «игре» не может быть. Если бы мошенничал сам Чичиков, Ноздрев, конечно, не обязан был бы платить. Но, однако, мошенничал как раз проигравший Ноздрев…

Здесь ощущается что-то парадоксальное: «с одной стороны…», «с другой стороны…» и «с обеих сторон» в равной мере убедительно, хотя эти стороны несовместимы. Должен все-таки Ноздрев платить или нет?

Есть смысл оставить решение этого вопроса читателю.

У каждого из нас имеются определенные интуитивные представления о логике, выработаны некоторые устоявшиеся навыки последовательного и доказательного рассуждения. Полезно было бы сейчас, опираясь на них, попытаться решить, действительно здесь парадокс или нет. Такое самостоятельное размышление позволит в какой-то мере прочувствовать, насколько неопределенной и даже ненадежной является наша интуитивная логика и насколько сложно бывает отделить простое затруднение от подлинного парадокса. Вот еще один пример для размышления.

Ранее шла речь о смысле бессмысленного. Выяснилось как будто, что смысл бессмысленного в том, что оно не имеет смысла. Не является ли это положение парадоксальным?

Говорилось также о попытках уклониться от парадокса «лжеца», ограничивая круг объектов, о которых можно высказаться. Не является ли парадоксом само утверждение: «Ни одно высказывание не должно говорить о самом себе»? Ведь оно касается всех высказываний и, значит, говорит что-то и о самом себе.

Эти примеры для размышления не настолько сложны, чтобы читатель не справился с ними самостоятельно.

Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.

Рассмотренные парадоксы — это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем будут открыты и многие другие и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.

«Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьезной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания», — пишет австрийский математик и логик К. Гёдель. «Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов, — утверждает советский математик Д. Бочвар. — Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под «логическим парадоксом».

Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь. Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и внелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределен однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и внелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удается определить однозначно.

Логические парадоксы не отделяются жестко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего непарадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.

На первых порах изучения логических парадоксов казалось, что их можно выделить по нарушению некоторого, еще не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Б. Расселом «принцип порочного круга». Этот принцип утверждает, что совокупность объектов не может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.