В 1795 году ученый стал профессором недавно учрежденной Нормальной школы, а после создания в 1797 году знаменитой Политехнической школы возглавил там кафедру математики. Курсы, которые читал Лагранж, были изданы в нескольких работах: «Теория аналитических функций» (1797), «О решении численных уравнений» (1798) и «Лекции по исчислению функций» (1801–1806). Эти работы сыграли важную обобщающую роль и во многом стали отправной точкой в работе многих математиков (Коши, Якоби, Вейерштрасса). В 1806 и 1808 годах Лагранж опубликовал еще две важные работы по теории движения планет. В 1810 году ученый принялся за полный пересмотр и подготовку к переизданию «Аналитической механики». Эту работу довести до конца ему не удалось. 10 апреля 1813 года Жозеф Луи Лагранж скончался.

Шарль Огюстен Кулон родился в Ангулеме – небольшом городе на западе Франции. Родители его были весьма обеспеченными людьми: отец, Анри Кулон, был правительственным чиновником, а мать, Катрин Баже, происходила из знатной и богатой семьи. Вскоре после рождения мальчика его родители перебрались в Париж. В столице Анри Кулон занял довольно прибыльную должность сборщика налогов. Но вскоре попытки вести собственные финансовые дела разорили его. Анри был вынужден покинуть Париж и отправился в Монпелье, откуда он был родом. Катрин с сыном осталась в Париже. В конце 1740-х годов Шарля отдали в «Коллеж четырех наций» (коллеж Мазарини). Коллеж Мазарини по праву считался одним из самых лучших учебных заведений Парижа. Это обстоятельство и привело к тому, что планам матери Шарля не суждено было сбыться. Она прочила сыну карьеру врача или юриста, но юноша так заинтересовался математикой, астрономией и физикой, что решил стать ученым. На этой почве между ним и матерью произошел конфликт, после чего Шарль оставил Париж и отправился к отцу в Монпелье.

Еще в 1706 году в Монпелье было основано серьезное научное общество. Кулон вступил в него и в феврале-марте 1757 года представил на рассмотрение несколько работ, первой из которых стал «Геометрический очерк среднепропорциональных кривых». Вскоре члены общества избрали Кулона адъюнктом математики. Но Шарль не имел средств для того, чтобы продолжать самостоятельно заниматься наукой, ему необходимо было получить профессию, позволяющую продолжать научные изыскания. Посоветовавшись с отцом, он решил поступить в Военно-инженерную школу в Мезьере. Для поступления нужно было сдать довольно сложные экзамены. Кулон вновь отправился в Париж, где почти год обучался частным образом. В феврале 1760 года он прибыл в Мезьер и благополучно сдал экзамены.

Обучение в Военно-инженерной школе длилось недолго. В ноябре 1761 года Шарль Кулон получил диплом и звание лейтенанта. О том, насколько успешно он учился, судить трудно. С одной стороны известно, что после завершения обучения он получил денежную премию, которой награждались лучшие выпускники. С другой же – руководитель Школы дал весьма негативный отзыв об одной из его работ: «Его работа об осаде хуже средней, рисунки сделаны очень плохо, с подчистками и пометками… Он полагает, как и другие со сходным образом мыслей, что древесину для лафетов и повозок можно просто найти в лесу…»

Первым местом службы Кулона стал Брест, портовый город на северо-западе Франции. Здесь он занимался картографическими работами, необходимыми для строительства береговых укреплений. Но пребывание в Бресте было недолгим. В 1764 году Шарль Кулон отправился в далекое путешествие. Местом его нового назначения стал остров Мартиника в Вест-Индии. Этот остров был открыт в 1502 году экспедицией Колумба, ас 1635 года попал под влияние Франции и со временем был колонизирован. Впоследствии между Францией и Англией разгорелась борьба за Мартинику, в 1762 году англичанам удалось захватить остров, но через год он был возвращен Франции. После этого французские власти решили защитить остров от дальнейших покушений, построив на нем новый форт.

Конкурс на лучший проект форта выиграл инженер де Рошмор. Однако его проект вызвал бурное обсуждение, в котором участвовали и многие военные инженеры, в том числе и Кулон. В конце концов, проект, с целым рядом изменений утвердили, а Кулон был назначен руководителем строительства. Восемь лет он провел на Мартинике, где ему пришлось столкнуться с целым рядом трудностей, причем не только технических. Не хватало людей, средств, работы велись в очень неблагоприятных климатических условиях. Во время строительства Шарль показал себя не только замечательным механиком, но и прекрасным организатором. Начальство заметило старания и успехи инженера, и весной 1770 года он получил звание капитана. Технические навыки, которые он приобрел во время строительства, без сомнений, пригодились в его дальнейшей научной работе в области механики. Однако пребывание на Мартинике плохо сказалось на здоровье молодого человека, он очень тяжело переносил непривычный климат. Практически все восемь лет Шарля не оставляли болезни.

В 1772 году Кулон вернулся во Францию. Его направили в город Бушен, где он в основном занимался строительной механикой и работами с различными материалами. Теперь у Шарля было больше свободного времени, и он вновь занялся наукой. Вскоре он отправил несколько работ по прикладной механике в Парижскую академию наук, а весной 1773 года дважды выступал на ее заседаниях с докладами. Одна из этих работ получила очень благоприятные отзывы. Академик Боссю писал, что в ней Кулон «…охватил, так сказать, всю архитектурную статику… Повсюду в его исследовании мы отмечаем глубокое знание анализа бесконечно малых и мудрость в выборе физических гипотез, а также в их применении. Поэтому мы полагаем, что эта работа вполне заслуживает одобрения Академии и достойна публикации в Собрании [работ] иностранных ученых». Так Кулон впервые обратил на себя внимание французских ученых.

В 1774 году Шарль получил назначение в портовый город Шербур, где он занимался ремонтом фортификационных сооружений. Работа оставляла свободное время, и ученый имел возможность продолжать свои исследования. В 1775 году Парижская академия наук объявила конкурс на «Изыскание лучшего способа изготовления магнитных стрелок, их подвешивания и проверки совпадения их направления с направлением магнитного меридиана и, наконец, объяснение их регулярных суточных вариаций». Надо сказать, что создание конструкции более совершенного компаса было на тот момент весьма актуальной задачей. До того большинство компасов представляло собой магнитные стрелки, подвешенные на тонкой шелковой нити. Естественно, что подобные приборы были весьма чувствительны к всевозможным внешним воздействиям, в частности электростатическим. Чтобы устранить погрешности, Кулон предложил крепить стрелку к металлической проволоке, проводящей ток. В 1777 году ученый был признан победителем конкурса.