Шрифт:
Обозначим через xвеличину смещения грузика. Перемещение происходит по дуге, но мы ведь условились изучать колебания вблизи положения равновесия. Поэтому мы не делаем различия между величиной смещения по дуге и отклонением груза от вертикали. Рассмотрим два подобных треугольника (рис. 45). Отношение соответствующих катетов равно отношению гипотенуз, т.е.
Величина mg/ lво время колебания не меняется. Эту постоянную величину мы обозначим буквой k, тогда возвращающая сила равна F= kx. Мы приходим к следующему важному выводу: величина возвращающей силы прямо пропорциональна величине смещения колеблющейся точки от положения равновесия. Возвращающая сила максимальна в крайних положениях колеблющегося тела. Когда тело проходит среднюю точку, сила обращается в нуль и меняет свой знак или, иными словами, свое направление. Пока тело смещено вправо, сила направлена влево, и наоборот. Маятник служит простейшим примером колеблющегося тела. Однако мы заинтересованы в том, чтобы формулы и законы, которые мы находим, можно было бы распространить на любые колебания.
Период колебания маятника был выражен через его длину. Такая формула годится лишь для маятника. Но мы можем выразить период свободных колебаний через постоянную возвращающей силы k. Так как k= mg/ l, то l/ g= m/ k, и, следовательно,
Эта формула распространяется на все случаи колебания, так как любое свободное колебание происходит под действием возвращающей силы.
Выразим теперь потенциальную энергию маятника через смещение из положения равновесия x. Потенциальная энергия грузика, когда он проходит низшую точку, может быть принята за нуль, и отсчет высоты подъема следует вести от этой точки. Обозначив буквой hразность высот точки подвеса и положения отклонившегося груза, запишем выражение потенциальной энергии: U= mg( l– k) или, пользуясь формулой разности квадратов,
Но, как видно из рисунка, l 2– h 2= x 2, lи hразличаются весьма мало, и поэтому вместо l+ hможно подставить 2 l. Тогда U= ( mg/2 l) x 2, или
Потенциальная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия.
Проверим правильность выведенной формулы. Потеря потенциальной энергии должна равняться работе возвращающей силы. Рассмотрим два положения тела – x 2и x 1. Разность потенциальных энергий
Но разность квадратов можно записать как произведение суммы на разность. Значит,
Но x 2– x 1есть путь, пройденный телом, kx 1и kx 2– значения возвращающей силы в начале и в конце движения, а ( kx 1+ kx 2)/2 равно средней силе.
Наша формула привела нас к правильному результату: потеря потенциальной энергии равна произведенной работе.
Колебание пружин
Легко заставить колебаться шарик, подвесив его на пружину. Закрепим один конец пружины и оттянем шарик (рис. 46). В растянутом состоянии пружина находится, пока мы оттягиваем шарик рукой. Если отпустить руку, пружина будет сокращаться, и шарик начнет движение к положению равновесия. Так же, как и маятник, пружина приходит в состояние покоя не сразу. По инерции будет пройдено положение равновесия, и пружина начнет сжиматься. Движение шарика замедляется и в какой-то момент он останавливается, чтобы тут же начать движение в обратную сторону. Возникает колебание с теми же типичными признаками, с которыми мы ознакомились, изучая маятник. При отсутствии трения колебание продолжалось бы без конца. При наличии трения колебания затухают, и при этом тем быстрее, чем больше трение.
Зачастую роли пружины и маятника аналогичны. И та, и другой служат для поддержания постоянства периода в часах. Точный ход современных пружинных часов обеспечивается колебательным движением маленького махового колеса-баланса. В колебание его приводит пружина, которая свертывается и развертывается десятки тысяч раз в сутки.
У шарика на нитке роль возвращающей силы играла касательная составляющая силы тяжести. У шарика на пружине возвращающая сила является силой упругости сжатой или растянутой пружины. Таким образом, величина упругой силы прямо пропорциональна смещению: F= kx.