ZF– игра, судя по всему, представляет собой исключительно разумный подход, позволяющий реализовать большую часть того, что нас интересует в обычной математике. Однако по причинам, которые обозначены выше, я совершенно не в состоянии понять, каким же образом из нее может «произрасти» реальная точка зрения в отношении чьих бы то ни было математических убеждений. Ибо если кто-то считает, что с помощью «практикуемой» им математики он устанавливает исключительно подлинные математические истины — скажем, истинность 1– высказываний, — то он должен верить и в то, что используемая им система обоснованна; а если он верит в ее обоснованность, то он должен также верить в ее непротиворечивость, то есть в то, что 1– высказывание, утверждающее истинность G( F), действительноистинно, несмотря на то, что оно НЕРАЗРЕШИМО. Таким образом, математические убеждения человека должны включать в себя нечто, что в рамках ZF– игры невыводимо. С другой стороны, если человек не верит в обоснованность формальной системы ZF, то он не может верить и в подлинную истинность ИСТИННЫХ результатов, полученных с помощью ZF– игры. В обоих случаях сама по себе ZF– игра не в состоянии снабдить нас удовлетворительной позицией в том, что касается математической истинности. (Это равным образом применимо к любой формальной системе ZF*.)

Хотя этот вопрос был достаточно исчерпывающе рассмотрен в предыдущих обсуждениях, я полагаю, что суть того рассмотрения полезно будет изложить еще раз, поскольку возражения, подобные Q15, чаще всего оказываются среди нападок на наше с Лукасом приложение теоремы Гёделя. Суть же в том, что мы вовсе не утверждаем, что высказывание G( F) непременно истинно для любой формальной системы F, мы утверждаем лишь, что высказывание G( F) настолько же достоверно, насколько достоверна любая другая истина, получаемая применением правил самой системы F. (Вообще говоря, высказывание G( F) оказывается болеедостоверным, нежели утверждения, получаемые действительным применениемправил F, так как система F, даже будучинепротиворечивой, не обязательно будет обоснованной!) Если мы верим в истинность любого утверждения P, выводимого исключительно с помощью правил системы F, то мы должны верить и в истинность G( F), по крайней мере, в той же степени, в какой мы верим в истинность P. Таким образом, ни одна постижимая формальная система F— или эквивалентный ей алгоритм F— не может послужить абсолютно полной основой для подлинного математического познания или формирования убеждений. Как отмечалось в комментариях к Q5и Q6, наше доказательство построено как reductio ad absurdum: мы выдвигаем предположение, что система Fдействительно является абсолютной основой для формирования убеждений, а затем показываем, что такое предположение приводит к противоречию, т.е. является неверным.

Мы, конечно же, можем, как в Q14, выбрать для удобства какую-то конкретную систему F, хотя уверенности в том, что она обоснованна, а потому непротиворечива, это нам не добавит. Впрочем, при наличии действительныхсомнений в обоснованности системы Fлюбой получаемый в рамках Fрезультат P следует формулировать в виде

(или, что то же самое, «высказывание PИСТИННО»), избегая утверждений вида «высказывание Pистинно». Такое утверждение в математическом смысле вполне приемлемо и может быть либо действительно истинным, либо действительно ложным. Совершенно законным образом мы можем свести все наши математические высказывания к утверждениям такого рода, однако и в этом случае нам никуда не деться от утверждений об абсолютных математических истинах. При случае мы можем прийти к убеждению, будто мы установили, что какое-то утверждение вышеприведенного вида является в действительности ложным, т.е. получить следующий результат:

Такие утверждения имеют вид: «такое-то вычисление не завершается» (или, по сути, «будучи примененным к высказыванию P, алгоритм Fне завершается»), что в точности совпадает с формой рассматриваемых нами 1– высказываний. Вопрос: какие средства мы полагаем допустимыми в процессе получения подобных утверждений? Каковы, наконец, те математические процедуры, в которые мы действительно верими применяем при установлении математических истин? Такая система убеждений, при условии, что они достаточно разумны, никак не может быть эквивалентнавсего лишь убежденности в обоснованности и непротиворечивости формальной системы, какой бы эта формальная система ни была.

В самом деле, конечного аксиоматического способа убедиться в том, что «числа», о которых идет речь, и есть те самые подразумеваемые натуральныечисла, а не какие-то посторонние «сверхнатуральные», не существует {33} . Однако, в некотором смысле, в этом и состоит вся суть гёделевского рассуждения. Неважно, какую именно схему аксиом формальной системы Fмы построим, пытаясь охарактеризовать натуральные числа, — одних лишь правил системы Fбудет недостаточно, чтобы определить, является ли высказывание G( F) действительно истинным или же ложным. Полагая систему Fнепротиворечивой, мы знаем, что в высказывании G( F) подразумеваетсявсе же наличие некоего истинного смысла. Это, однако, происходит лишь в том случае, если символы, составляющие в действительности формальное выражение, обозначаемое « G( F)», имеют подразумеваемые значения. Если эти символы интерпретировать как-либо иначе, то полученная в результате интерпретация « G( F)» вполне может оказаться ложной.

Для того чтобы разобраться, откуда берутся все эти двусмысленности, рассмотрим новые формальные системы F* и F**, где F* получается путем присоединения к аксиомам системы Fвысказывания G( F), a F** — путем аналогичного присоединения высказывания ~ G( F). Если система Fобоснованна, то обе системы F* и F** непротиворечивы (т.к. высказывание G( F) истинно, а ~ G( F) из правил системы F) вывести невозможно. При этом в случае подразумеваемой (или стандартной) интерпретации символов Fиз обоснованности системы F следует, что система F* обоснованна, а система F** — нет. Впрочем, одним из характерных свойств непротиворечивых формальных систем является возможность отыскания так называемых нестандартныхреинтерпретаций символов таким образом, что высказывания, которые являются ложными в стандартной интерпретации, оказываются истинными в нестандартной; соответственно, в такой нестандартной интерпретации обоснованными могут быть системы Fи F**, а система F* обоснованной не будет. Можно вообразить, что такая реинтерпретация может повлиять на смысл логических символов (таких как «~» и «&», которые в стандартной интерпретации означают, соответственно, «не» и «и»), однако в данном случае нас занимают символы, обозначающие неопределенные числа (« x», « y», « z», « x'», « x"» и т.д.), и значения применяемых к ним логических кванторов (, ). В стандартной интерпретации символы « x» и « x» означают, соответственно, «для всех натуральных чисел x» и «существует такое натуральное число x, что»; в нестандартной же интерпретации эти символы могут относится не к натуральным числам, а к числам какого-то иного вида с иными свойствами упорядочения (такие числа действительно можно назвать «сверхнатуральными», или даже «ультранатуральными», как это сделал Хофштадтер [ 201 ]).