В следующей витрине выставлено наибольшее из всех трехзначных чисел: 999

. Оно гораздо удивительнее, чем его перевернутое изображение – 666 – знаменитое «звериное число» Апокалипсиса, вселяющее такой страх в суеверных людей, но по арифметическим свойствам ничем не выделяющееся среди остальных чисел.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение, первые три цифры которого есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а последние три цифры – дополнения первых до 9. Например:

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:

Отсюда вытекает весьма простой прием «мгновенного» умножения любого трехзначного числа на 999:

847 × 999 = 846153; 509 × 999 = 508491; 981 × 999 = 980019 и т. п.

А так как 999 = 9 × 111 = 3 × 3 × 3 × 37, то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37, – чего не знакомый со свойствами числа 999, конечно, не в состоянии сделать. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления» не хуже иного фокусника.

Следующим на очереди у нас 1001

, прославленное число Шехеразады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками. Чем же так замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых простых чисел: через ячейки Эратосфенова решета оно свободно проскользнуло бы, так как делится без остатка на 7, на 11 и на 13 – на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но в том, что число 1001 = 7 × 11 × 13, нет еще ничего волшебного. Гораздо замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из умноженного числа только написанного дважды: например, 873 × 1001 = 873873; 207 × 1001 = 207207 и т. д. И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 × 1001 = 873 × 1000 + 873 = 878000 + 873, – все же, пользуясь указанным свойством числа Шехеразады, можно достичь результатов, совсем неожиданных, – по крайней мере, для человека неподготовленного.

А именно: целое общество непосвященных в арифметические тайны гостей вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке, секретно от вас, какое хочет трехзначное число и затем пусть припишет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трех повторяющихся цифр. Предложите тому же товарищу или его соседу разделить – по-прежнему секретно от вас – это число на 7, причем вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат деления передается соседу, который по вашему предложению делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы просите передать следующему соседу, которого просите разделить это число на 13 – деление снова выполняется без остатка, о чем вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:

– Вот число, которое вы задумали!

Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само значит умножить его на 1001, т. е. на произведение 7 × 11 × 13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13, а после деления последовательно на эти три числа (т. е. на их произведение – 1001) должно снова дать первоначальное число.

Не вправе ли мы после сказанного приравнять число Шехеразады к тем чудесам волшебных арабских сказок, которым мы дивились в детстве? Разница лишь в том, что арифметическое чудо имеет естественное объяснение, а чудеса Востока непостижимы, – да еще и в том, что наше чудо действительно существует, а чудеса волшебных сказок вымышлены…

После сказанного о числе 1001

для вас уже не будет неожиданностью увидеть в витринах нашей галереи число 10101. Вы догадаетесь, какому именно свойству число это обязано такою честью. Оно, как и число 1001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных, а двузначных чисел: каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например: 73 × 10101 = 737373; 21 × 10101 = 212121. Причина уясняется из следующей строки:

Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001? Конечно, и здесь даже возможно обставить фокус эффектнее, разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел:

10101 = 3 × 7 × 13 × 37.

Предложив первому гостю задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьего приписать то же число еще раз. Четвертого гостя вы просите разделить получившиеся шестизначное число, например, на 7; пятый гость должен разделить полученное частное на 3; шестой гость делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, – причем все 4 деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому гостю: это – задуманное им число.

При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно, вместо множителей 3 × 7 × 13 × 37 можете взять следующие группы множителей: 21 × 13 × 37; 7 × 39 × 37; 3 × 91 × 37; 7 × 13 × 111.

Число это – 10101 – пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее известно своими поразительными свойствами, нежели 1001. А между тем о нем писалось еще двести лет тому назад в «Арифметике» Магницкого, в той главе, где приводятся примеры умножения «с некоим удивлением». Тем с большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.

В соседней витрине мы видим другую диковинку арифметической консткамеры, число

 состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что

111111 = 111 × 1001.

Но 111 = 3 × 37, а 1001 = 7 × 11 × 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собою произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти 5 множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111, а именно:

З × (7 × 11 × 13 × 37) = З × 37037 = 111111

7 × (3 × 11 × 13 × 37) = 7 × 15873 = 111111

11 × (3 X 7 X 13 × 37)= 11 X 10101=111111

13 × (3 × 7 × 11 × 37) = 13 × 8547 = 111111

37 × (3 × 7 × 11 × 13) = 37 × 3003 = 111111

(3 × 7) × (11 × 13 × 37) = 21 × 5291 = 111111

(3 × 11) × (7 × 13 × 37) = 33 × 3367 = 111111

и т. д.