так как длины CD, BE и DE можно измерить, то нетрудно вычислить искомую ширину (АВ) озера.

78. Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 109 раз; расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 километров. Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром (черт. 198).

Р е ш е н и е. Из подобия треугольников АОЕ и СРЕ (почему они подобны?) имеем

PE/OE = PC/OC

РЕ – есть искомая длина х тени; DE= OP+ РЕ = 150 000 000 км + x; PC– радиус Земли; ОА – радиус Солнца. Мы знаем, что радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли. Подставив эти величины в пропорцию, имеем

X/150 000 000 = 1/109

или 109х = 150 000 000 + x, откуда

x = 150 000 000/109 = около 1 400 000 км.

На практике приходится нередко отыскивать отрезок такой длины, чтобы вместе с тремя данными отрезками могла быть составлена пропорция. Пусть, например, даны три отрезка а, b и с (черт. 199) и требуется отыскать четвертый отрезок х такой длины, чтобы возможна была пропорция:

а: b = с: х.

Задача эта решается так. На прямой линии (черт. 200) откладывают от точки М отрезки а и b. Под произвольным углом к а от точки М проводят прямую, на которой откладывают отрезок с. Концы N и Р отрезков а и с соединяют прямой и через конец Q отрезка b проводят QR параллельно NP. Отрезок MR и есть четвертая пропорциональная х, потому что

а: b = с: х.

Решение подобных задач называется «построением 4-й пропорциональной».

а: b = с: х.

Повторительные вопросы

Что значит: «построить 4-ую пропорциональную»? – Какие вы знаете способы ее построения?

Применения

79. Прямоугольник со сторонами а и h(черт. 201) превратить в равновеликий прямоугольник с основанием b.

Р е ш е н и е. Надо начертить прямоугольник с основанием b и такой высотой х, чтобы bх = ax

Из последнего равенства вытекает пропорция b/a = h/x.

Следовательно, искомая высота х есть 4-я пропорциональная к a, h и b. Построив; ее по указанному раньше способу, мы сможем начертить и искомый прямо угольник.

80. Начертить прямоугольник с высотою b, равновеликий треугольнику с основанием а и высотою h.

Р е ш е н и е сводится к нахождению основания прямоугольника такой длины x, чтобы bх = bx = ah/2., т. е.,

чтобы x: a/2 = h: b

Значит, отрезок х есть 4-я пропорциональная к,a/2.h и b

81. Средняя линия трапеции p, высота – q. Построить равновеликий ей прямоугольник со стороною b.

Р е ш е н и е. Прямоугольник легко можно построить, если найдена будет его другая сторона х такой длины, что bx= pq, и следовательно х : р = д : b. Значит, х есть 4-я пропорциональная к р, q и b.

На свойстве подобных треугольников основано устройство так называемого «поперечного масштаба», которым пользуются при черчении планов. Устройство его показано на черт. 202. Пусть расстояние BA соответствует на плане в каком-нибудь определенном масштабе, 1 километру (или 5, 10, 20 километрам) в натуре. Это расстояние разделено на 10.равных частей; на столько же частей разделено» и расстояние KL= АВ; АК перпендикулярно к АВ и к КL; точки деления АВ и КL соединены между собою наклонными линиями, как показано на чертеже. После сказанного в § 57 понятно, что отрезки параллельных прямых, отсекаемых: углом OLBсоставляют последовательно (считая от вершины L) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 и т. д. отрезка ОВ. А так как отрезок ОB сам составляет 0,1 длины АВ, то указанные отрезки составляют 0,01, 0,2, 0,03 и т. д. длины АВ.

Отсюда ясна возможность помощью поперечного масштаба получать весьма малые доли масштабной единицы АВ. Если необходимо, например, раздвинуть ножки циркуля на 2,73 АВ, то помещают одну ножку циркуля на пересечении 2-й поперечной линии масштаба и 3-й (снизу) продольной; другую же – на пересечении той же 3-й продольной линии и 7-й косой: тогда острия циркуля окажутся раздвинутыми на 2,73 АВ. Чтобы раздвинуть их на 36.8 АВ, надо одно острие поместить на пересечении 3-й поперечной и 8-й продольной линии, а другое – на пересечении 8-й продольной и 6-й косой, и т. д.