Шрифт:
В результате кинетическое уравнение для электронов запишется в виде
В отличие от уравнения Ландау (5) здесь поля E и B — это полные поля, создаваемые не только внешними источниками, но и самими частицами плазмы. Поэтому они удовлетворяют уравнениям Максвелла
в которых кроме внешних источников pext и jext фигурируют индуцированные в плазме источники:
Здесь так же, как и выше, суммирование ведется по всем сортам заряженных частиц.
Что же касается (не выписанного) столкновительного члена в уравнении (9), то А. А. Власовым он считался малым и принимался в форме Ландау (5). Однако, оставаясь в рамках приближения Больцмана, обрезание взаимодействия, по его мнению, следовало делать не на дебаевском радиусе, а на длине порядка среднего расстояния между электронами. Поэтому кулоновский логарифм L в теории Власова принимался в η– 1 раза меньшим, чем (6). Это, на первый взгляд, несущественное отличие в действительности является принципиальным. Здесь надо отдать должное физическому чутью Ландау, который в этом моменте оказался полностью прав. Строго это, однако, было доказано лишь в конце 1950-х годов А. Ленардом и Р. Балеску, получившими интеграл парных столкновений с учетом поляризации плазмы и обосновавшими обрезание взаимодействия на дебаевском радиусе (см. учебник [7]). Последовательный же вывод уравнения (9) методом разложения по параметру (4) был дан, как уже отмечалось выше, в монографии Н. Н. Боголюбова [4]. Систему уравнений (9) — (11) в пренебрежении парными столкновениями в литературе принято называть системой уравнений Власова-Максвелла, а само кинетическое уравнение (9) — уравнением Власова. Часто последнее еще называют кинетическим уравнением для бесстолкновительной плазмы. Такое название, однако, следует считать неудачным, поскольку уравнение (9) даже без учета правой части учитывает дальние столкновения, а точнее — взаимодействие частиц посредством самосогласованных полей [51] .
51
Здесь следует обратить внимание на принципиальные особенности системы кулоновски взаимодействующих одноименно заряженных частиц, т. е. системы с чистым отталкиванием либо с чистым притяжением (гравитирующие тела). В такой системе отсутствует дебаевская экранировка поля заряда, и получить сходящийся интеграл столкновений невозможно. Следствием этого обстоятельства является невозможность существования устойчивого термодинамически равновесного газа из системы таких частиц. Такой газ либо коллапсирует (при притяжении), либо разлетается (при отталкивании) в отсутствие внешних воздействий. Для устойчивости необходимо наличие заряженных частиц разного знака. Вместе с тем последнее обстоятельство определяет невозможность построения теории неидеальной плазмы, которая реализуется при выполнении обратного неравенства (8) либо (4), совпадающего с условием применимости больцмановского описания, а потому, казалось бы, открывающего путь построения кинетической теории. Увы, при этом происходят захват разноименно заряженных частиц и образование атомов (рекомбинация). Эти вопросы, однако, выходят далеко за рамки настоящей статьи, претендующей только на исторический экскурс в развитие кинетической теории идеальной плазмы.
А. А. Власов на основе приведенной системы уравнений в пренебрежении парными столкновениями исследовал малые линейные колебания плазмы в отсутствие внешних источников и внешних полей. При это он показал, что в такой изотропной плазме существуют чисто продольные (в которых Е = —
Проведенный А. А. Власовым анализ дисперсионного уравнения для малых продольных колебаний изотропной электронной плазмы с максвелловской равновесной функцией распределения по скоростям показал, что в пренебрежении парными столкновениями частиц в области фазовых скоростей, превышающих тепловую скорость электронов, такие колебания не затухают и обладают следующим законом дисперсии:
где и ωp — известная со времен И. Ленгмюра плазменная (электронная ленгмюровская) частота, а
хорошо согласовывалось с известными экспериментальными результатами И. Легмюра и Л. Тонкса [8]. Подтверждением правильности теории А. А. Власова следует считать также то, что медленные продольные колебания в чисто электронной плазме оказались невозможными. Именно, в области vφ = ω/k << vTe поле таких колебаний экранируется, причем размер экранировки определяется дебаевским радиусом, что согласуется с глубиной дебаевской экранировки поля статического заряда в плазме (7), полученной Л. Д. Ландау из чисто термодинамических соображений [52] .
52
Следует отметить, что в цитируемой работе И. Легмюра и Л. Тонкса в рамках гидродинамического описания была развита идеология самосогласованного поля и, более того, получены спектры (12) (с небольшой неточностью: вместо коэффициента 3 в поправочном слагаемом они получили множитель 1) и дебаевская экранировка низкочастотного продольного поля. Ими же было показано, что малые возмущения в плазме не апериодически затухают со временем, а колеблются с частотой ωp и лишь слабо затухают вследствие столкновений электронов.
Вместе с тем вызывало некоторую неудовлетворенность отсутствие затухания колебаний, хотя в приближении самосогласованного поля взаимодействие частиц учитывалось. Сам А. А. Власов в этом ничего плохого не видел. Более того, парную столкновительную релаксацию, которая, согласно теории Л. Д. Ландау, определяется частотой электрон-ионных столкновений
он считал пренебрежимо малой, поскольку
Более существенным А. А. Власову представлялось дисперсионное расплывание. Оценивая исходя из формулы (12) время расплывания τg неоднородности с размером 1/k, находим, что
т. е. это время велико по сравнению с периодом колебаний. Причем роль столкновений определяется величиной νeffτg, которая есть произведение малого параметра (15) на большой параметр (16).
4. В [2] Л. Д. Ландау резко отрицательно отреагировал на отсутствие в теории А. А. Власова диссипации малых колебаний при пренебрежении парными столкновениями. Считая уравнение Власова применимым для описания электронных колебаний плазмы, он тем не менее писал: «Власов искал решения вида exp(—iωt + ikr) и определял зависимость частоты ω от волнового вектора k. В действительности вообще не существует никакой определенной зависимости ω от k, и при заданном значении k возможны произвольные ω». Решая, как и А. А. Власов, начальную задачу для малых колебаний, Л. Д. Ландау приходит к тому же дисперсионному уравнению [53]
53
Ландау вообще не воспринимал введение дисперсионного уравнения, что особенно резко прозвучало в статье [5].
которое исследовалось А. А. Власовым. Здесь f0(v) — равновесная функция распределения по скоростям, которая считается максвелловской и нормированной на плотность электронов n:
В уравнении (17) фигурирует несобственный интеграл Коши с полюсом подынтегрального выражения на действительной оси интегрирования при v = ω/k. Именно в понимании этого интеграла и возникло разночтение между А. А. Власовым и Л. Д. Ландау. А. А. Власов считал, что интеграл надо брать в смысле главного значения, и как результат получил решение уравнения (16) в виде незатухающих колебаний со спектром (12). Л. Д. Ландау же указал, что интеграл надо брать по контуру (правило обхода Ландау), соответствующему представлению полюса в виде