Успешный штурм кубического уравнения, предпринятый Кардано, был, по существу, геометрическим «дополнением до полного куба», аналогичный методу дополнения до полного квадрата. Однако описание метода было выдержано все еще в стиле ал-Хорезми, с длинными риторическими объяснениями и уверенностью, что кубические уравнения следует разбить на несколько групп, поскольку отрицательные коэффициенты все еще не считались допустимыми. Преобразовывая более сложные кубические уравнения в более простые разрешимые типы, Кардано смог вырваться на шаг вперед по сравнению с дель Ферро и Тартальей. Кардано также заметил, что иногда промежуточные шаги в решении требовали вычисления квадратного корня из отрицательного числа. Сталкиваясь с этими сложными числами, он выказал определенную интеллектуальную брезгливость. Считая подобные ответы бессмысленными, он все же не отвергал их полностью. В одном случае он зашел достаточно далеко и понял: при умножении того, что мы теперь называем комплексным числом, получается реальное число. Он описал условия, при которых кубическое уравнение имеет комплексные решения, но не стал исследовать эти новые типы числа. В 1572 году Рафаэль Бомбелли (ок. 1526–1572) издал трактат «Алгебра», в котором расширил область чисел, дополнив их квадратными и кубическими корнями, а также комплексными числами. Он также сделал решающий шаг в алгебраическом решении геометрических задач и наоборот, но, к сожалению это не было замечено современниками, поскольку значительная часть его работы была опущена и издана только в двадцатом веке.

В Европе развитие алгебры шло бок о бок с использованием новых индо-арабских цифр. В 1494 году монах Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», который считают первой книгой по алгебре. Трактат Пачоли все еще представляет собой смесь риторических и алгебраических объяснений (это называют синкопированием). Неизвестное в уравнении часто называлось на латыни «cosa» («вещь»), а затем — в онемеченном варианте — «coss». После появления книги «Die Coss», написанной знаменитым «счетным мастером» Адамом Ризе (1492–1559), в Германии в XVI веке стало быстро развиваться так называемое «коссическое искусство». В то время впервые появились многие символы, которые мы сегодня считаем алгебраическими. Знаки «+» и «-» пришли в математику из Германии, знак «=» — из Англии. В целом переход от риторической алгебры через различные виды синкоп к стандартизированной и однозначной символической алгебре занял несколько сотен лет. Серьезной проблемой была, например, роль степеней выше третьей. Поскольку алгебраические методы полагались на геометрические доказательства, а измерений свыше третьего не существовало, казалось неразумным приписывать какое-либо значение четвертой или более высоким степеням. Важность этой проблемы подчеркивали сами термины, которые использовали для обозначения таких степеней. Четвертая степень числа обычно упоминается как «квадрат квадрата». В середине XVI века Роберт Рекорд чувствовал необходимость чем-нибудь подкрепить свое стремление к использованию более высоких степеней. Он объяснял, что площадь квадрата, стороны которого также квадраты некоего числа, — это число, возведенное в четвертую степень, и, следовательно, называется «квадратом квадрата».

Отход от чисто геометрического подхода начался с публикации «Геометрии» Рене Декарта (1596–1650). Эта важная работа была всего лишь приложением к основополагающему труду Декарта «Рассуждение о методе» (1637) (полное название «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках») и нередко выбрасывалась из последующих переизданий. Декарт писал «Рассуждение…», чтобы изложить философию науки, которая позволит получить знания о Вселенной вещества и движения. А правильное описание Вселенной на языке математики требовало, чтобы сам этот язык «базировался на надежном фундаменте». Несмотря на то что приложение называлось «Геометрия», по существу, оно знаменовало брачный союз алгебры и геометрии, появление дисциплины, которая теперь называется аналитической геометрией. В сущности, она доказывает эквивалентность геометрических построений и алгебраических преобразований. Кривые в ней описываются уравнениями. Декарт также перестал оценивать степени как числа, а не как геометрические объекты: х 2больше не обозначало площадь — оно стало числом, возведенным во вторую степень, его геометрическим эквивалентом была парабола, а не квадрат.

Это освобождало алгебру от обязательств перед однородностью размерности — ограничения, согласно которому все члены уравнения должны были иметь одинаковую размерность. Мы находим, например, выражения вроде ххх + аах = bbb: каждый элемент здесь — куб. Действительно, Декарт с удовольствием рассуждал о кривых любой степени, то есть об x n. И это новшество имело огромное значение. Сейчас мы больше не считаем в математике х 2фактическим квадратом. Алгебра Декарта кажется нашим современникам знакомой — он использовал начальные буквы алфавита для обозначения коэффициентов, а последние буквы алфавита для обозначения переменных. Единственный символ, который кажется нам странным, — это , знак бесконечности: Декарт использовал его в качестве знака равенства.

Задача с кубами по-прежнему могла быть решена с помощью пересечения конических сечений, по методу ал-Хайями, однако теперь любому было по силам построить кубическое уравнение. Декарт изо всех сил старался связывать алгебраические манипуляции с геометрическими преобразованиями, и в итоге формула Кардано выполняла не «дополнение куба», но преобразования кубической кривой. Более того, Декарт освободил геометрию от использования построений с помощью циркуля и линейки. В «Геометрии» Декарта вы не найдете многое из того, что теперь известно как алгебраическая геометрия, например координатные оси, формулы для вычисления расстояний между точками или углов между прямыми. Важно понимать, что Декарт подарил математикам будущего новый язык постановки математических проблем и установил определенный паритет между алгебраическими и геометрическими методами.

В шестнадцатом веке основным источником информации об орбитах планет оставался «Альмагест» Птолемея (см. Главу 2). Громоздкая структура Птолемеевой системы эпициклов и деферентов просуществовала в различных формах почти две тысячи лет — вероятно, потому, что и тригонометрические таблицы, и собранные в процессе наблюдения данные не были достаточно точными, чтобы продемонстрировать глубокие недочеты этой системы. Стеклянные сферы Аристотеля находились в постоянном и равномерном круговом движении — «мотором» был Аристотелев перводвигатель. Теперь же на место перводвигателя заступили ангельские силы — небесные тела стали приводиться в движение небесными духами. Для Птолемея математика была средством описать явление, а не объяснить его, и он успешно объединил философские требования Аристотеля и данные, полученные в результате наблюдения. Революция представлений о Вселенной в буквальном смысле поменяла местами небо и землю. Ключевым аспектом была роль математики — может ли точная математическая модель что-то рассказать нам о физической действительности?