Этот литературный пример пригоден для всех случаев двойного описания, когда объединяются данные из двух или более органов чувств. Макбет «доказывает», что кинжал – это всего лишь галлюцинация, проверяя его с помощью осязания, но даже этого оказывается недостаточно. Может быть, его глаза «стоят всего остального». И только когда на воображаемом кинжале появляется кровь, он может отбросить это видение: «Обман, которого не существует».

Сравнение информации из одного органа чувств с информацией из другого, дополненное изменением в галлюцинации, послужило Макбету метаинформацией о том, что его видение было воображаемым. В терминах Рисунка 4, множество АВ было пусто.

Во многих случаях новое понимание возникает только благодаря использованию для описания другого языка, даже если при этом не добавляется никакой новой, так называемой «объективной» информации. Поясним это отношение на примере двух доказательств одной математической теоремы.

Каждый школьник знает, что (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Может быть, он знает и то, что это первый шаг в разделе математики, который называется теорией биномов. Само это равенство достаточно хорошо иллюстрируется алгоритмом алгебраического умножения, каждый шаг которого находится в соответствии с определениями и постулатами тавтологии, называемой алгеброй – тавтологии, предмет которой состоит в расширении и анализе понятия «каждый».

Но многие школьники не знают, что это биномиальное равенство имеет геометрическое доказательство (см. рис. 6). Рассмотрим отрезок XY, состоящий из двух частей, a и b. Этот отрезок геометрически представляет число (a+ b), а площадь квадрата, построенного на XY, равна (a + b)2, что и называется возведением в квадрат.

Этот квадрат можно теперь разделить, отложив длину а вдоль отрезка XY и вдоль одной из прилежащих сторон квадрата и проведя соответствующие прямые параллельно его сторонам. Теперь школьник может заметить, что квадрат разделен на четыре части, а именно, что он состоит из двух квадратов, один из которых имеет площадь а2, а другой b2, и из двух прямоугольников, каждый из которых имеет площадь (a x b) (и, следовательно, общую площадь 2ab).

Таким образом, известное алгебраическое равенство (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 оказывается, по-видимому, верным и в евклидовой геометрии. Но, конечно, вряд ли можно было рассчитывать, что отдельные части равенства (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 будут отчетливо отделены друг от друга и в переводе на язык геометрии.

Но что это значит? По какому праву мы подставили вместо а так называемую «длину» и другую длину вместо b, а затем предположили, что при их соединении получится отрезок (a + b), и так далее? Можем ли мы быть уверены, что длины отрезков подчиняются арифметическим правилам? Чему научился школьник, узнав формулировку этого старого равенства на новом языке?

В некотором смысле, ничего не добавилось. Когда я показал, что равенство (a + b)2 = a2 + 2ab + b2выполняется не только в алгебре, но и в геометрии, не было получено никакой новой информации и не было понято ничего нового.

Но значит ли это, что язык как таковой не содержит информации?

Даже если в результате этого небольшого математического фокуса с математической точки зрения ничего не добавилось, я все же убежден, что от знакомства с ним школьник сможет кое-чему научиться. Это вклад в дидактический метод. Открытие (если это открытие), что два языка (алгебра и геометрия) могут переводиться с одного на другой, само по себе является откровением.

Может быть, следующий математический пример поможет читателю лучше понять, что достигается при использовании двух языков. [Об этой для большинства людей неизвестной закономерности я узнал благодаря Гертруде Гендрикс: Gertrude Hendrix, «Learning by Discovery,» The Mathematics Teacher 54 (May 1961): 290 – 299. (Гертруда Генрикс, «Обучение через открытие», Учитель математики 54 (Май 1961): 290 – 299.)]

Спросите своих друзей «Чему равна сумма первых десяти нечетных чисел?»

Вероятно, они скажут, что они этого не знают, или начнут складывать ряд чисел:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19.

Покажите им, что:

Сумма первого нечетного числа равна 1.

Сумма первых двух нечетных чисел равна 4.

Сумма первых трех нечетных чисел равна 9.

Сумма первых четырех нечетных чисел равна 16.

Сумма первых пяти нечетных чисел равна 25

И так далее.

Довольно скоро ваши друзья скажут что-нибудь вроде «Тогда сумма первых десяти нечетных чисел должна быть равна 100». Они научились этому трюку, позволяющему складывать последовательности нечетных чисел.