Таким образом, пионеры науки, подобные Лобачевскому, Бойяи и Гауссу, не отбросили все, что было сделано до них, а просто открыли дверь новым возможностям. Их новаторские работы способствовали созданию более экспансивной геометрии, так как ее принципы не ограничивались плоскостью, а могли быть применимы ко всем криволинейным поверхностям и пространствам. Хотя элементы евклидовой геометрии по-прежнему сохраняются в этой расширенной, более общей геометрии. Например, если вы берете небольшой участок земной поверхности, скажем, на Манхэттене, то улицы и проспекты можно считать параллельными и перпендикулярными для всех практических целей. Евклидова геометрия достоверно описывает ограниченную область, где эффектами кривизны можно пренебречь, но не работает, если вы смотрите на планету в целом. Можно также рассмотреть треугольник, нарисованный на воздушном шаре. Когда шар относительно небольшой, то сумма углов треугольника больше 180 градусов. Но если мы будем раздувать воздушный шар, то радиус кривизны (r) будет становиться все больше и больше, а сама кривизна (равная 1/r2) — все меньше и меньше. При приближении r к бесконечности, кривизна будет стремиться к нулю, а сумма углов треугольника в пределе будет точно равна 180 градусам. Как выразился Адамс, «это именно та ситуация на ровной плоскости, в которой евклидова геометрия является чемпионом. Она работает довольно хорошо и на сфере с небольшой кривизной, но, если вы надуваете воздушный шар и кривизна сферы становится все меньше и меньше, то соответствие евклидовой геометрии становится все лучше и лучше. Таким образом, мы видим, что евклидова геометрия действительно является только частным эпизодом более общего сюжета, когда радиус кривизны является бесконечным, сумма углов треугольника составляет 180 градусов и все постулаты евклидовой геометрии применимы».[288]

Аналогично теория тяготения Ньютона была чрезвычайно практической теорией в том смысле, что она давала нам простой способ вычисления силы тяжести, действующей на любой объект в системе. В частности, она работала хорошо до тех пор, пока объекты, о которых шла речь, не двигались слишком быстро, или в ситуациях, когда гравитационный потенциал не слишком велик. Затем появился Эйнштейн со своей новой теорией, в которой гравитация рассматривается как следствие искривления пространства-времени, а не как сила, действующая между объектами, и мы поняли, что теория тяготения Ньютона была только небольшим фрагментом этой общей картины и она хорошо работает только в предельных случаях — когда объекты двигаются медленно, а гравитация является слабой. Таким образом, мы видим, что общая теория относительности, как следует из названия, на самом деле является общей: это обобщение не только специальной теории относительности Эйнштейна путем включения гравитационных эффектов, но и обобщение ньютоновской теории тяготения.

Аналогично квантовая механика является обобщением ньютоновской механики, но нам нет необходимости ссылаться на квантовую механику, чтобы играть в бейсбол или в блошки. Ньютоновские законы работают хорошо для больших объектов, таких как бейсбольные мячи, и даже для небольших объектов, таких как блошки, где поправки, налагаемые квантовой теорией, неизмеримо малы и ими можно пренебречь. Но макроскопическая область, в которой мячи и ракеты летают, а закон Ньютона доминирует, является лишь частным случаем более широкой и общей области квантовой теории, которая справедлива и для объектов значительно меньшего размера. Используя квантовую механику, мы можем точно предсказать траектории релятивистских электронов в высокоэнергетическом коллайдере, в то время как ньютоновская механика нам здесь не поможет.

Теперь мы подходим к такой же ситуации в геометрии. Классическая риманова геометрия не в состоянии описать физику на квантовом уровне. Поэтому мы будем искать новые геометрии, более общее описание, которое можно применить с одинаковым успехом и к кубику Рубика, и к струнам планковской длины. Вопрос в том, как это сделать. Отчасти мы идем ощупью в темноте, вероятно так же, как Исаак Ньютон, когда пытался написать свою собственную теорию тяготения.

Ньютону пришлось изобретать новые методы для достижения этой цели, отсюда родилось дифференциальное и интегральное исчисление. Так же как причиной рождения математики Ньютона явилась физика, так, вероятно, случится и сегодня. Мы не можем создать квантовую геометрию без некоторых вводных данных из физики. Несмотря на то что мы всегда можем вообразить некоторые новые интерпретации геометрии, но если она действительно должна быть работоспособной, то она должна описывать природу на некотором базовом уровне. А для этого, как мудро признал Гаусс, нам необходимо некоторое руководство извне.

Соответствующая физика выдвигает нам технические требования, которым наша математика должна удовлетворять. При использовании классической геометрии для физики на планковском масштабе мы будем получать дискретные изменения и разрывы. Надеюсь, что квантовая геометрия устранит эти разрывы, создав гладкую картину, более простую для понимания и более удобную для работы.

Рис. 14.1. Физик Джон Уилер ввел понятие квантовой пены, которая представлена на этом рисунке. Верхняя панель выглядит полностью гладкой. Но если поверхность раздуть на двадцать порядков от первоначальной величины (средняя панель), то станут хорошо видны неровности. Если поверхность раздуть еще в тысячу раз, то все маленькие выпуклости станут «горами» и состояние поверхности станет полной противоположностью своему первоначальному, гладкому состоянию

Предполагается, что теория струн, почти по определению, будет иметь дело с вышеописанными проблемами. Поскольку «фундаментальный строительный блок теории струн является не точкой, а скорее одномерной петлей, то естественно полагать, что классическая геометрия не может корректно описывать струнную физику, — объясняет Брайан Грин. — Однако сила геометрии не теряется. Напротив, теория струн, по-видимому, будет описываться модифицированной формой классической геометрии с модификациями, исчезающими по мере того, как типичный размер в данной системе становится большим по сравнению с масштабом струн — шкалой длин, которая, как ожидается, будет находиться в пределах нескольких порядков от планковской шкалы».[289]

Предыдущие теории фундаментальной физики рассматривали свои основные строительные блоки — материальные частицы — как бесконечно малые, нульмерные точки — объекты, с которыми ученые того времени не могли адекватно работать ввиду слабости математического аппарата (современная математика также не может справиться со всеми проблемами). Струны представляют собой частицы не бесконечно малого размера, так что квантовые флуктуации, которые создавали столько хлопот для классической геометрии на ультрамалых масштабах, распределяются по значительно большей области, ослабляя свое влияние, что делает их более контролируемыми. Таким образом, раздражающую проблему сингулярностей в физике, где кривизна и плотность пространства-времени растут до бесконечности, можно ловко обойти. «Вам никогда не добраться до точки, где происходят катастрофы, — говорит Натан Зайберг из Института перспективных исследований. — Теория струн не позволит вам».[290]

Рис. 14.2а. Это фотография под названием «Голубой мрамор» показывает, что если взглянуть на нашу планету с большого расстояния, то ее поверхность выглядит гладкой и безупречной, как мрамор (Центр космических полетов Годдарда, НАСА)

Даже если катастрофа предотвращена, все равно поучительно взглянуть на ситуацию, где вы были «на волосок от гибели, которой вам чудом удалось избежать». «Если вы хотите изучить ситуации, где геометрия не работает, вам необходимо выбирать те случаи, в которых она постепенно выходит из строя, — говорит Эндрю Строминджер. — Один из лучших способов выполнить такой анализ ситуаций заключается в изучении пространств Калаби-Яу, потому что в этих пространствах мы можем выделить области, где пространство-время поломано, в то время как остальные области остаются неизменными».[291]