Основная идея параллельного переноса проиллюстрирована на рис. 4.3 для поверхности с двумя вещественными измерениями или одним комплексным (поверхность с большим числом измерений нарисовать проблематично). Впрочем, этот случай скорее тривиален, поскольку число возможных направлений поворота ограничено числом два: влево и вправо.

Однако уже для двух комплексных измерений (четырех вещественных) число векторов определенной длины, перпендикулярных любому заданному вектору, бесконечно велико. Эти векторы образуют касательное пространство, которое в двухмерном случае можно представить как огромный кусок фанеры, лежащий на верхушке баскетбольного мяча. В этом случае знание того, что необходимый нам вектор перпендикулярен некоему другому, известному нам, едва ли заметно упростит его нахождение — если только многообразие, которому он принадлежит, не является кэлеровым. Для кэлерова многообразия, зная вектор, полученный при повороте на 90 градусов (J-преобразовании) в одной из точек многообразия, можно точно предсказать величину и направление подобных векторов в любой другой точке, поскольку параллельный перенос дает возможность переместить этот вектор из первой точки во вторую.

Рис. 4.3. На первом рисунке изображен параллельный перенос вектора V из точки P в точку Q, в которой этот вектор приобретает новое имя W1. Затем при помощи так называемой J-операции вектор W1 поворачивается на 90 градусов. Повернутый вектор носит название JW1. На втором рисунке J-операция проводится над вектором V в точке P, результатом которой становится новый вектор (повернутый на 90 градусов) — JV. При помощи параллельного переноса этот вектор перемещают в точку Q, где он получает новое имя W2. В обоих случаях результирующие векторы будут одинаковы. Это один из признаков кэлерова многообразия, а именно независимость результата от последовательности, в которой выполняются операции поворота и параллельного переноса. Эти две операции коммутируют, то есть порядок их выполнения не имеет значения

Существует еще один способ показать, что эта простая операция (поворот на 90 градусов, или J-преобразование) тесно связана с симметрией. Этот тип симметрии называется четырехкратной симметрией, поскольку при каждом J-преобразовании вектор поворачивается на 90 градусов. В результате четырех последовательных преобразований вектор повернется на 360 градусов и, пройдя полный круг, вернется в начальную точку. Иначе говоря, два J-преобразования аналогичны умножению на -1. Четыре преобразования приведут к умножению вектора на единицу (-1x-1=1). В результате мы вернемся к тому, с чего начали.

Очевидно, что данная симметрия применима только к касательному пространству в определенной точке, но для того чтобы это свойство было действительно полезным, четырехкратная симметрия должна сохраняться и при перемещении по всему пространству. Эта согласованность является важной особенностью внутренней симметрии. Представьте себе стрелку компаса, которая характеризуется двухкратной симметрией в том смысле, что она может указывать только в двух направлениях — северном и южном. Если при вращении компаса в пространстве его стрелка будет беспорядочным образом указывать то на север, то на юг без какой-либо причины, можно сделать вывод о том, что пространство, в котором вы находитесь, либо не обладает соответствующей симметрией, либо не имеет заметного магнитного поля (либо вам пора покупать новый компас). Аналогично, если J-операция дает разные результаты в зависимости от положения точки на многообразии и направления поворота, то это означает, что в многообразии отсутствуют порядок и предсказуемость, обеспечиваемые симметрией. Более того, вы можете быть уверены, что это многообразие не кэлерово.

Внутренняя симметрия, во многом определяющая кэлеровы многообразия, ограничена касательным пространством к данным многообразиям. Это может иметь определенные преимущества, поскольку на касательном пространстве результат любой операции не зависит от выбора системы координат. Именно это свойство — независимость результатов операции от выбора системы координат — представляет чрезвычайный интерес как с геометрической, так и с физической точки зрения. Проще говоря, если результаты зависят от выбора ориентации осей или начала координат, то для нас они неинтересны.

Рис. 4.4. На рисунке проиллюстрирован простой и весьма очевидный факт: квадрат имеет четырехкратную симметрию относительно его центра. Иными словами, повернув квадрат четыре раза на 90 градусов, мы получим исходную фигуру. Поскольку J-операция представляет собой поворот на 90 градусов, она также имеет четырехкратную симметрию, и четыре поворота приведут к исходному объекту. Формально говоря, J-операция действует только на касательные векторы, поэтому она — весьма грубый аналог вращения фигуры, подобной квадрату. J-преобразование, как обсуждается в тексте, является вещественным аналогом умножения на i. Умножение некого числа на i четыре раза равноценно умножению его на единицу, и оно, подобно проведенной четыре раза J-операции, неизбежно приведет к тому числу, с которого мы начали

Требование внутренней симметрии наложило на представленный Калаби математический мир ряд дополнительных ограничений, значительно упростив его и сделав проблему доказательства его существования потенциально разрешимой. Впрочем, Калаби не обратил внимания на некоторые другие следствия из его теории; на самом деле внутренняя симметрия, наличие которой он предположил для своих многообразий, является особой разновидностью суперсимметрии, что особенно важно для теории струн.

Последние два фрагмента нашей мозаики — классы Черна и кривизна Риччи — возникли из попыток геометров обобщить одномерные римановы поверхности на случай многих измерений и затем попытаться математически описать различия между ними. Это привело к возникновению важной теоремы, относящейся к компактным римановым поверхностям, — как, впрочем, и ко всем компактным поверхностям, не имеющим границ. Определение границы в топологии дается скорее на интуитивном уровне: диск имеет границу, или четко определенный край, тогда как сфера границы не имеет. На поверхности сферы можно сколь угодно долго двигаться в любом направлении, никогда не достигая никакой границы и даже не приближаясь к ней.

Теорема, сформулированная в XIX веке Карлом Фридрихом Гауссом и французским математиком Пьером Бонне, связала геометрию поверхности с ее топологией.

Согласно формуле Гаусса-Бонне, общая гауссова кривизна подобных поверхностей равна произведению эйлеровой характеристики поверхности на 2. Эйлерова характеристика, обозначаемая греческой буквой («хи»), в свою очередь равна 2–2g, где g — это род (число «дырок» или «ручек» на данной поверхности). К примеру, эйлерова характеристика двухмерной сферы, не имеющей дырок, будет равна 2. Эйлер вывел отдельную формулу для нахождения эйлеровых характеристик любого многогранника: =V-E+F, где V — число вершин, E — число ребер, a F — число граней. Для тетраэдра =4-6+4=2, точно так же, как и для сферы. Для куба, имеющего 8 вершин, 12 ребер и 6 граней, =8-12+6=2 — снова то же, что и для сферы. Причина того, что эти топологически идентичные (хотя и геометрически различные) объекты имеют одинаковую величину заключается в том, что эйлеровы характеристики всецело определяются топологией объекта и не зависят от его геометрии. Эйлерова характеристика стала первым из основных топологических инвариантов пространства — величин, остающихся неизменными — инвариантными — для пространств, имеющих совершенно различный внешний вид, подобно являющимся топологически эквивалентными сфере, тетраэдру и кубу.