Шрифт:
Глава II
Потомок древнего абака
Чеховская головоломка
Припомним ту, в своем роде знаменитую арифметическую задачу, которая так смутила семиклассника Зиберова из Чеховского рассказа «Репетитор»:
«Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?»
С тонким юмором описывает Чехов, как беспомощно трудились над этой задачей и семиклассник-репетитор, и его ученик, двенадцатилетний Петя, пока не выручил их Петин отец, Удодов:
«Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.
– Для чего же вы делите? Постойте! Впрочем, так… продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка, я разделю!
Зиберов [репетитор] делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
– Странно… - думает он, ероша волосы и краснея.
– Как же она решается? Гм!… Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая.
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
– Гм!… странно… Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то!
– Решайте же!
– говорит он Пете.
– Ну, чего думаешь? Задача -то ведь пустяковая, - говорит Удодов Пете.
– Экий ты дурак, братец! Решите уже вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич [репетитор] берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
– Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, - говорит он.
– Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил… Понимаете? Или вот что. Решите мне эту задачу к завтрему… Подумайте…
Петя ехидно улыбается, Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
– И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.
– Вот, извольте видеть…
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
– Вот-с… по-нашему, по-неученому».
Эта сценка с задачей, заставляющая нас смеяться над конфузом злосчастного репетитора, задает нам сама три новых задачи. А именно:
1. Как намеревался репетитор решить задачу алгебраически?
2. Как должен был решить ее Петя?
3. Как решил ее отец Пети на счетах «по-неученому»?
На первые два вопроса, вероятно, без труда ответят если не все, то во всяком случае, - многие читатели нашей книжки. Третий вопрос не так прост. Но рассмотрим наши задачи по порядку.
1. Семиклассник-репетитор готов был решать задачу «с иксом и игреком», будучи уверен, что задача - «собственно говоря, алгебраическая». И он, надо думать, легко справился бы с ней, прибегнув к помощи системы уравнений (только не неопределенных, как ему казалось).
Составить два уравнения с двумя неизвестными для данной задачи очень нетрудно; вот они:
х + у = 138
5х + 3у = 540,
где х - число аршин синего, а у - черного сукна.
2. Однако задача легко решается и арифметически. Если бы вам пришлось решать ее, она, конечно, не затруднила бы вас. Вы начали бы с предположения, что все купленное сукно было синее, - тогда за всю партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить 5 x 138 = 690 рублей; это на 690-540 = 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось и более дешевое, черное сукно по 3 рубля аршин. Дешевого сукна было столько, что из двухрублевой разницы на каждом аршине составилось 150 рублей: очевидно, число аршин черного сукна определится, если разделить 150 на 2. Получаем ответ - 75; вычтя эти 75 аршин из общего числа 138 аршин, узнаем, сколько было синего сукна: 138-75 = 63. Так и должен был решать задачу Петя.
3. На очереди третий вопрос: как решил задачу Удодов-старший?
В рассказе говорится об этом очень кратко: «он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было».
В чем же, однако, состояло это «щелканье на счетах»? Каков способ решения задачи с помощью счетов?
Разгадка такова: злополучная задача решается на счетах тем же приемом, что и на бумаге, - теми же арифметическими действиями. Но выполнение их значительно упрощается благодаря преимуществам, которые наши русские счеты предоставляют всякому, умеющему с ними обращаться. Очевидно, «отставной губернский секретарь» Удодов хорошо умел считать на счетах, потому что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, чего репетитор-семиклассник добивался узнать «с иксом и игреком». Проследим же, какие действия должен был проделать на счетах Петин отец.