Шрифт:
Рис. 25. Аппроксимация касательной
Самой важной особенностью прямой является ее наклон, и чтобы измерить его, математики выясняют, насколько прямая поднимается на определенном расстоянии. Например, представьте себе, что вы едете на восток вверх по холму; при этом на каждую милю, которую вы проехали, приходится подъем на полмили. Наклон холма — это просто подъем (полмили) над горизонтальным расстоянием, которое вы проехали (милей). Математики сказали бы, что наклон холма — 1/2. Это же верно для прямых: чтобы определить наклон прямой, вы смотрите, насколько она переместилась по вертикали (математики обозначают это символом Oy) при заданном перемещении по горизонтали (которое обозначается Ox); таким образом, наклон равен Oy / Ox.
Когда вы пытаетесь рассчитать наклон касательной, процесс приближения вам портит ноль. По мере того как аппроксимация делается все лучше и лучше, точки на кривой, которые вы для нее используете, оказываются все ближе друг к другу. Это означает, что разница по вертикали, Oy, стремится к нолю, как и расстояние по горизонтали между точками, Ox. В результате, когда аппроксимация касательной делается все лучше, Oy / Ox приближается к 0 / 0. Ноль, деленный на ноль, может равняться любому числу на свете. Имеет ли наклон касательной какое-либо значение?
Каждый раз, когда математики пытались иметь дело с бесконечностью или с нолем, они сталкивались с логическими трудностями. Чтобы вычислить объем бочки или площадь параболы, математики складывали друг с другом бесконечные ноли; чтобы найти касательную к кривой, они делили ноль на самого себя. Ноль и бесконечность заставляли простой акт нахождения касательной или определения площади выглядеть противоречащими самим себе. Эти трудности положили бы конец интересным рассуждениям, если бы не одно обстоятельство: эти бесконечности и ноли служат ключом к пониманию природы.
Ноль и тайна математического анализа
Чем больше ум анализирует и развивает эти неуловимые идеи, тем больше он теряется и заходит в тупик; предметы, вначале мелькающие и крошечные, вскоре вообще исчезают из поля зрения… Это не конечные величины, не бесконечно малые величины, но и не ничто. Не назвать ли нам их призраками исчезнувших величин?
Проблемы касательной и площади оказываются в запутанном состоянии из-за одних и тех же трудностей с бесконечностью и нолями. Это неудивительно, поскольку проблема касательной и проблема площади на самом деле одно и то же. Они обе — аспекты дифференциального и интегрального исчисления, научного инструмента, много более мощного, чем все, что было известно ранее. Телескоп, например, дал ученым возможность обнаружить луны и звезды, никогда раньше не наблюдавшиеся. Дифференциальное и интегральное исчисление, с другой стороны, дало ученым способ выражать законы, управляющие движением небесных тел, — и законы, со временем позволившие узнать, как эти луны и звезды возникли. Дифференциальное и интегральное исчисление оказалось истинным языком природы, но оно было пронизано нолями и бесконечностью, которые грозили уничтожить новый инструмент.
26
Беркли Дж. Соч. М.: Мысль, 2000. Пер. Е.С.Лагутина.
Его первооткрыватель едва не умер, не успев сделать первый вдох. Исаак Ньютон родился недоношенным на Рождество 1642 года, таким маленьким, что помещался в кружке объемом в кварту. Его отец, фермер, умер за два месяца до рождения сына.
Несмотря на тяжелое детство [27] и желание матери, чтобы он стал фермером, Ньютон поступил в 1660 году в Кембриджский университет и преуспел. За несколько лет он создал систематический метод разрешения проблемы касательной: теперь он мог вычислить касательную к любой плавной кривой в любой точке. Этот процесс представляет собой первую часть математического анализа, теперь известную как дифференциальное исчисление. Впрочем, способ Ньютона не особенно похож на тот, которым мы пользуемся сегодня.
27
Когда Ньютону было три года, его мать снова вышла замуж и переехала. Родив второму мужу троих детей, она практически не уделяла внимания Исааку. Даже после смерти отчима Исаак и его мать мало общались, хотя, получив после смерти мужа хозяйство, мать пыталась переложить на плечи юного Ньютона управление фермой (прим. авт.).
Стиль дифференцирования Ньютона основывался на флюксиях (производных) — потоках — математических выражений, которые он называл флюентами (переменными). Как пример флюксий Ньютона рассмотрим уравнение y = x2 + x + 1. В этом уравнении флюентами являются x и y; Ньютон полагал, что x и y меняются — текут — с течением времени. Скорость их изменения — их флюксии — он обозначал как x и y соответственно.
Метод дифференцирования Ньютона основывался на одном приеме: он позволял флюксиям изменяться, но изменяться бесконечно мало. По сути, он не давал им времени течь. В обозначениях Ньютона y в этот момент менялся на (y + оy), в то время как x менялся на (x + оx). (Буква «о» представляла собой количество прошедшего времени; оно было почти нолем, но не совсем, как мы увидим.)
Уравнение тогда принимает вид:
(y + оy) = (x + оx)2 + (x + оx) +1.
Раскрытие выражения (x + оx)2 дает нам y + оy = x2 + 2x(оx) + (оx)2 + x + оx + 1. Приведение членов дает y + оy = (x2 + x + 1) + 2x(оx) + 1(оx) + (оx)2. Поскольку y = x2 + x + 1, мы можем вычесть y из левой части уравнения и x2 + x + 1 из правой. Это дает нам оy = 2x(оx) + 1(оx) + (оx)2. Дальше следует жульнический прием. Ньютон заявил, что поскольку оx на самом деле очень, очень мал, оx2 еще меньше и исчезает. По сути это был ноль, и его можно было игнорировать. Это дает нам оy = 2x(оx) + 1(оx), а это значит, что оy / оx = 2x + 1. Это и есть угол наклона касательной в любой точке кривой (рис. 26).