Шрифт:
длина волны фотона Черчилля = 0 . . . . . . . . . . (10).
Однако умножив равенство (7) на 640 нанометров, мы видим, что
640 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(11).
Соединив равенства (10) и (11), мы получим, что длина волны фотона Черчилля = 640 нанометров.
Это означает, что данный фотон, как и любой другой, исходящий от мистера Черчилля, — оранжевый. Таким образом, Уинстон Черчилль имеет ярко-оранжевый цвет.
Суммируя полученные результаты, можно сказать, что мы математически доказали, что Уинстон Черчилль не имеет рук и ног, вместо головы у него пучок зелени, он сужается до точки и имеет оранжевый цвет. Ясно, что Уинстон Черчилль — морковка. (Есть и более простой способ доказать это. Добавление 1 к обеим частям уравнения (7) дает равенство 2 = 1. Уинстон Черчилль и морковка — разные вещи, поэтому они — одно и то же. Однако такое заключение менее удовлетворительно.)
Что не так в этом доказательстве? Только один шаг имеет порок — тот, благодаря которому мы переходим от уравнения (4) к уравнению (5). Мы делим на (a — b). Однако осторожно! Поскольку и a, и b равны 1, a — b = 1 — 1 = 0. Мы делили на ноль и в результате получили смешное равенство 1 = 0. Отсюда следует, что мы можем доказать любое утверждение, независимо от того, верно оно или ложно. Вся система математики развалилась.
Неосмотрительное использование ноля обладает властью уничтожить логику.
Приложение B
Золотое сечение
Разделите отрезок прямой на две части, так, чтобы отношение меньшей части к большей было бы равно отношению большей части ко всему отрезку. Для простоты будем считать, что меньшая часть имеет в длину 1 фут, а большая — x футов. Очевидно, что длина всего отрезка в этом случае x + 1. Придав отношению алгебраический вид, получим, что отношение меньшей части к большей равно 1 / x, а отношение большей части ко всему отрезку — x / (1 + x).
Поскольку отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому отрезку, мы можем приравнять отношения друг другу, что дает уравнение:
x / (1 + x) = 1 / x.
Мы стремимся решить это уравнение в отношении x, что и есть золотое сечение. Первый шаг — умножить обе части уравнения на x, что дает
x2 / (1 + x) = 1.
Умножив потом обе части на (1 + x), получаем
x2 = 1 + x.
Вычтя 1 + x из обеих частей уравнения, получаем
x2 — x — 1 = 0.
Теперь можно решить квадратное уравнение:
х = 1±(1 + 4) / 2.
Мы имеем два решения, однако только первое из них, примерно равное 1,618, является положительным числом, только оно имело смысл для греков. Таким образом, золотое сечение приблизительно равно 1,618.
Приложение С
Современное определение производной
В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x0, обозначаемой как f '(x), таково:
f '(x) = lim f(x + ) — f(x) / при – > 0.
Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x2 + x + 1. Производная этой функции равна
f '(x) = lim (x2 + 2x + 2 + x + + 1 — x2 — x — 1) / при – > 0..
Теперь x2 взаимно уничтожается с –x2, x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается
f '(x) = lim (2x + + 2) / при при – > 0.
Разделив на , мы помним, что всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем