Место понятий «богаче» и «беднее» занимают относительно числовых количеств понятия «больше» и «меньше». Если какое-нибудь число А больше В, или В больше С, то и А больше С. Это хорошо известное положение есть лишь частный случай более общего положения о многообразиях.

Всякое отдельное число обозначает прежде всего многообразие особой природы, являясь воплощением всех равных между собою и отличных от других поддающихся счету многообразий. Объединив совокупность всех чисел, мы можем образовать новое многообразие, в котором отдельные вещи или члены уже отличаются друг от друга. Далее, каждый из членов (за исключением единицы) обладает тем свойством, что он может получиться из другого (и только одного) члена при помощи присчитывания единицы. Вследствие этого возникает определенное отношение между всеми членами числового многообразия, которое можно назвать порядком.Количество чисел можно расположить в таком порядке, чтобы относительно всякого числа все последующие были больше его и все предыдущие – меньше. Это достигается тогда, когда каждое следующее число на единицу больше предыдущего, как в этом легко убедиться, применяя высказанный в предыдущем абзаце закон.

Это отнюдь не единственный способ порядка, хотя во всяком случае простейший. Необходимо поэтому подробнее развить понятие порядка.

Порядок возможен лишь тогда, когда каждая вещь многообразия может быть отличима от других, так что ее можно распознать и следить, так сказать, за ее судьбой. Я могу сделать так, чтоб каждый объект какого-нибудь многообразия находился в каком-нибудь определенном предписанном отношении к каждому из остальных объектов. При этом немедленно выясняется, что кроме отношений, необходимых для однозначимого образования порядка, в упорядоченном количестве могут быть вскрыты многочисленные другие отношения подобного рода, которые, в свою очередь, могут при известном подборе служить для установления такого же порядка.

Простейший вид порядка – это последовательность; она характеризуется тем, что к каждой вещи приурочивается та или другая вещь многообразия, с которой она находится в неизменном отношении. Подобная последовательность получается, например, если относительно каждой вещи определить, какая другая будет следовать до нее во времени; точно так же возможна и пространственнаяпоследовательность. Отсюда видно, что при помощи такого способа для всякой вещи однозначимо устанавливается не только следующая за ней вещь, но и предыдущая, но и пред ближайшая.

Упорядоченное многообразие обладает свойством делимости, присущим всякому многообразию, но если мы пожелаем из частей заново восстановить прежнее упорядоченное многообразие, то нужно обратить внимание и на порядок этих частей, так как в противном случае будет нарушено принятое правило порядка; части упорядоченного многообразия могут быть поэтому вновь сложены только однимспособом.

Та вещь, которая при применении правила порядка относится к данной вещи, называется высшей, последняя же – низшей. Всегда поэтому в конечном многообразии существует один член, к которому не может быть отнесен высший потому, что количество исчерпано, равно как существует один член, к которому не примыкает низший, ибо им начинается ряд. Между низшим и высшим членами лежат все остальные. Если какой-нибудь член авыше, чем Ь,и bвыше, чем с, то и а выше с, в чем легко убедиться при установлении порядка. При этом необходимо заметить, что язык, к сожалению, не позволяет нам выразить необходимые здесь всеобщие, независимые от времени и пространства, отношения, так что мы бываем вынуждены пользоваться такими образными оборотами, как выше и ниже, позже и раньше. Категорически подчеркиваем поэтому, что в действительности наши рассуждения не содержат временных или пространственных предпосылок.

Замечательно, что отношения, подобные найденным на с. 164 и др. для двухупорядоченных многообразий, имеются налицо и в рамках одного многообразия, если оно упорядочено. Это вытекает из того, что способ упорядочения проведен здесь в рамках самого многообразия.

Далее, достойно упоминания, что по тому же закону возможно расположить во взаимном порядке несколько уже расположенных в порядке многообразий. Указанные на с. 164 законы подойдут и сюда, в частности повторятся отношения, имевшие место между членами упорядоченного многообразия.

Кроме описанной последовательности, существуют еще другие виды внутреннего порядка многообразия, так, например, если к каждому члену одномерно ставятся в известные отношения два, три или больше членов. Эти более сложные виды порядка мы здесь только наметим.

Обычно число называют либо основным, либо порядковымв зависимости от того рассматривают ли его ценность, или его последовательность.Между тем вся техника счета покоится на том, что и основные числа одновременно считаются порядковыми; порядок служит при этом только для облегчения работы, ибо ценность от порядка не зависит. С другой стороны, упорядоченный ряд чисел употребляется как тип в целях приведения в соответствие других рядов и служит, таким образом, также для обозначения последовательностей, которым не присущ характер величины или ценности. Так «нумерируются» строфы какого-нибудь стихотворения или места в театре, что облегчает нахождение нужной строфы или нужного места, ибо каждый человек знает наизусть последовательность чисел и легко может ориентироваться. Порядковые числа не представляют собою, однако, единственного типа последовательности, для этой же цели пользуются и буквами.

Из только что описанных чисел можно при помощи определенных операций или предписаний вывести отрицательные и дробные числа. Впрочем, их изображение завело бы нас слишком далеко. Укажем поэтому только на результаты. При помощи отрицательныхчисел мы превращаем их ряд, бывший до сих пор неограниченным лишь в смысле более крупных чисел, неограниченным с обеих сторон. При помощи дробныхчисел мы получаем возможность вставить между двумя следующими друг за Другом (целыми) числами любое количество лежащих между ними чисел.

Весьма важное применение находят себе только что развитые понятия в (специализированных) понятиях времении пространства.Начиная с Канта, привыкли уделять им как формам нашего созерцания особенно выдающееся место, между тем развитые нами до сих пор понятия переживания, вещи, многообразия, числа, порядка —все общее времени и пространства, и последние получаются из первых при посредстве дальнейших ограничений. Обратимся сначала к времени.