Шрифт:
Предположим, что ошибки наблюдений малы, и что E1…, E6 есть та система элементов, которая позволяет более точно вычислить наблюдаемые значения Ok. Если допустить, что она мало отличается от исходной системы E0i, и что высшими степенями приращений E0i можно поэтому пренебречь, то формула (7.1) позволяет написать
Это так называемое условное уравнение относительно искомых поправок E0i.
Частные производные в левых частях условных уравнений могут считаться известными функциями, поскольку они всегда могут быть вычислены с большей или меньшей точностью.
Поскольку число наблюдений при уточнении орбиты почти всегда больше числа уточняемых параметров, то система условных уравнений является избыточной. В общем случае речь может идти лишь о ее приближенном решении. В методе наименьших квадратов решение ищется на основе принципа Лежандра — минимизации суммы квадратов остаточных уклонений. Под остаточными уклонениями k понимаются разности между левыми и правыми частями уравнений (7.2):
Согласно принципу Лежандра, искомые неизвестные поправки должны минимизировать величину
Необходимые условия минимума S как функции переменных E0i записываются в виде
Эти условия образуют систему из шести линейных уравнений относительно шести неизвестных E0i (i = 1…, 6). Например, первое из них записывается в виде
Остальные уравнения записываются аналогично.
Система из шести уравнений (7.3) относительно неизвестных E0i называется нормальной. Использование матричного исчисления позволяет представить нормальную систему и ее решение в компактном виде. Составим матрицу коэффициентов условных уравнений:
Обозначим также вектор-столбец с компонентами E0i как вектор X, а вектор-столбец правых частей с компонентами Ok — Ck как вектор L. В таком случае система условных уравнений запишется в виде
BX = L.
Нормальная система записывается в виде
BTBX = BTL,
где символ T означает транспонирование матрицы (замену строк столбцами и наоборот).
Симметричную матрицу нормальной системы BTB обозначим буквой Q. Решение нормальной системы может быть найдено умножением обеих частей уравнения на матрицу
Q– 1 = (BTB)– 1,
где символом Q– 1 обозначена матрица, обратная матрице Q (заметим, что матрица Q– 1 как обратная симметричной матрице, также является симметричной). Произведение обратной матрицы на саму матрицу дает единичную матрицу, вследствие чего решение записывается в виде
X = Q– 1BTL. (7.4)
Складывая найденные поправки E0i с исходной системой параметров E0i, находят исправленную систему. Поскольку при образовании системы условных уравнений мы пренебрегли высшими степенями поправок, то исправленная система элементов не обеспечивает минимального значения суммы квадратов остающихся невязок, хотя обычно уменьшает ее. Для достижения минимума процедуру дифференциального исправления системы элементов приходится повторять до тех пор, пока поправки к элементам не станут достаточно малыми. Найденное таким образом решение называют номинальным.
На практике используется большое число методов решения нормальной системы, в том числе и тот, который, согласно (7.4), основан на обращении матрицы Q, хотя его следует избегать в случае малости определителя матрицы. В теоретическом плане представление решения в виде (7.4) является наглядным и позволяет раскрыть ряд особенностей этого решения. К этому вопросу мы еще вернемся, но прежде рассмотрим вероятностный смысл решения системы условных уравнений методом МНК.
Интересующие нас особенности имеют место только в случае нормального закона распределения ошибок (закона Гаусса):
(e — основание натурального логарифма).
Центр распределения определяется значением элемента в номинальном решении, а дисперсии элементов определяются диагональными элементами матрицы Q– 1 — обратной матрицы нормальной системы. Иначе говоря, если обозначить среднеквадратичную ошибку элемента Ei как i, то
где — средняя квадратичная величина остаточных уклонений:
n — число условных уравнений, m — число определяемых неизвестных, в нашем случае 6, Q– 1ii — i-й диагональный элемент обратной матрицы нормальной системы.