И хотя это представляет куда больший интерес для истории математики, чем для более узких целей данного исследования, мы можем бегло отметить, что развитие арифметики вполне естественно вело к открытию правил квадратных, кубических и биквадратных уравнений. Пусть вавилонские специалисты по алгебре не умели полностью и свободно решать произвольные уравнения, как это делают сегодня в алгебре для высшей школы, но они достигли значимого успеха. Отдельные историки математики ставят вавилонскую алгебру 2000–1200 годов до н. э. выше всего, созданного до XVI века н. э. Достижения в области геометрии и измерений просто поражают. Хотя результаты по большей части отличаются корректностью, следов доказательств не обнаружено. Отсутствие доказательств вызывает интерес с позиций исторического развития интеллекта и философии.

Одна, внешне незначительная, но в историческом плане очень важная деталь в арифметике вавилонян всплывает при приближении к временам Платона. Большие числа, и в частности одно число, видимо, привлекали их внимание. Число, о котором идет речь, – это 12 960 000, или четвертая степень числа 60 (60 x 60 x 60 x 60). В шестидесятеричной системе это число соответствовало бы десяти тысячам (четвертой степени базового числа), наши десять тысяч есть 10 000 (10 x 10 x 10 x 10). Их число могло использоваться, как греки использовали по случаю наше, дабы подчеркнуть невероятно огромное число. Но использование Платоном вавилонских «десяти тысяч», как будет продемонстрировано позднее, было несравненно более окрашено богатым воображением.

Одним из источников всего таинственного, что шло от этого числа для магов и им подобных, являлось количество его делителей. Включая 1 и само число, вавилонские «десять тысяч» (12 960 000) имеют 225 делителей, наши же десять тысяч (10 000) насчитывают жалкие 25. Если для метафизиков этого намека на вечно воскресающую вселенную недостаточно, стоит всего лишь обратить внимание, что 225 (общее число делителей 60 в четвертой степени) есть 9 x 25, а 9 – это 3 раза по вездесущей и святой во все времена 3. Если и этого недостаточно, заметим, что четвертая степень от 6 (6 x 6 x 6 x 6, или 1296) имеет то же самое число делителей (25), как и четвертая степень 10. При этом четвертая степень от 10 есть десять тысяч у греков и у нас с вами, в то время как 12 960 000 есть «десять тысяч» у вавилонян, что составляет четвертую степень от 6, умноженную на четвертую степень от 10. Разве не должна ощутимая космическая истина скрываться в подобной таинственной гармонии чисел? Скрывается она или нет, но пространные философские рассуждения о человеке и вселенной выводились из перетасовки чисел совсем не столь плодовитых, сколь приведенные выше. Будет забавно теперь внимательнее посмотреть на всю их абсолютно бесполезную чепуху.

Во времена колонизации Америки да и еще какое-то время в XIX веке школьники выпускных классов по арифметике бились над следующей головоломкой. «Земельное владение общей площадью 1000 квадратных футов состоит из двух участков. Две трети длины стороны одного квадратного участка больше в 10 раз длины стороны другого квадратного участка. Рассчитайте стороны участков». Алгебра дает два ответа: стороны участков равны 10 и 30 футам, или – 270/13 и – 310/13 фута. Арифметика разумно останавливается только на первом варианте.

Неоправданно забытая американская классика «счета в уме» впадала в ярость от этих ужасов. Отважные парни, кому удалось решить данные задачи в уме (они могли получить только первый вариант ответа, второй – просто бессмысленный вздор), видимо, проходили школу более сурового воспитания, чем мертвенно-бледные неженки, которые позднее изводили уйму карандашей и бумаги и переворачивали учебники алгебры в поисках обоих ответов. Существовали более несносные задачи, чем приведенный пример, вроде задачки о сбежавшем военнопленном, имевшем с собой запас еды и питья только на два дня, которому предстояло пересечь безводную пустыню шириною сто миль бросками по десять миль в день. Но какими бы разными ни казались задачи, все они имели четыре общие черты. Они могли быть решены простыми арифметическими действиями любым, кто довольно прилично разбирался в школьной арифметике. Много легче они решались теми, кто обладал лишь весьма скромными знаниями в элементарной алгебре, и они были замысловато надуманны и лишены всякого практического смысла, и они нравились ученикам выше среднего уровня.

Две последние группы представляют для нас интерес. В современной прогрессивной школе арифметические задачи переведены в разумно практическую плоскость, часто представляя собой (причем с картинками) интересные и важные события из жизни совета местной школы, центрального вокзала Нью-Йорка, деятельности отцов города. Их легко решить в уме практически всем. К некоторому недоумению отдельных преподавателей, около 10 процентов среднестатистического класса не любят эти специальные практические задачи и даже от случая к случаю шумно выражают протесты, требуя других задач, которые заставляют нормального мальчика или девочку задумываться. Опыт древних вавилонян, кажется, свидетельствует о том же.

К 2000 году до н. э., а возможно, даже ранее 2500 года до н. э. вавилоняне довели уровень арифметических знаний до состояния вполне достаточного, чтобы осуществлять контроль за деятельностью в торговле, земледелии, строительстве, рытье каналов, астрологии и астрономии. Затем они ушли в чистую математику, выдвигая и решая бесчисленные задачи, которые даже самый беспечный историк экономики с трудом решится определить их значение. Задача об участке земли – лишь умеренный пример того, чем они занимались в указанном направлении. Она взята из математических табличек примерно 2000 года до н. э. Любого землемера даже на миг не сможет обмануть ее мнимая практичность. Если бы кому-то понадобилось узнать длину сторон участка, он не стал бы делать тех измерений, которые описаны в задаче, если он не сумасшедший и не сверхъестественно глуп. Задача столь же искусственна, как анаграмма, и единственно возможная ее цель состоит в том, чтобы получить удовлетворение от тренировки мозгов.

Математик из Вавилона, сформулировавший и решивший эту задачу, позволил себе использовать алгебру. Практически до последнего шага он следовал точно тому методу, что и большинство учеников начального курса алгебры в наши дни. Поскольку отрицательные числа еще не были полностью изучены, он пропустил второй ответ и дал только первый. Второй ответ сильно озадачил бы математика, будь он хоть на шаг впереди своего времени. Как выглядит отрицательная длина? Многие из тех, кто приступал к изучению алгебры, задавали этот вопрос только затем, чтобы убедиться, что, поскольку числа не могут лгать, они всегда имеют смысл, если с ними правильно обращаться. По этой причине отрицательная длина должна быть отвергнута.