Шрифт:
В случае аффинного шифра в нашем примере, С(х) = 2х + 1 (mod 6), мы хотим узнать, существует ли обратное значение для числа а, в нашем случае для числа 2.
То есть существует ли целое число n, которое меньше 6 и удовлетворяет выражению 2•n = 1 (mod 6). Для ответа на этот вопрос мы подставим в данное выражение все возможные значения (0, 1, 2, 3, 4, 5):
2-0 = 0, 2–1 = 2, 2–2 = 4, 2–3 = 6
Нет такого значения, следовательно, можно заключить, что 2 не имеет обратного числа. На самом деле мы это уже знали, так как НОД (2,6)
Предположим теперь, что мы перехватили зашифрованное сообщение: YSFMG. Мы знаем, что оно было зашифровано аффинным шифром вида С(х) = 2х + 3 и изначально было написано на испанском языке с алфавитом из 27 букв (включая букву N, идущую после обычной N).
Как получить исходное сообщение?
Сначала мы посчитаем НОД (2,27), который равен 1. Значит, сообщение можно расшифровать! Для этого для функции С(х) = 2х + 3 мы должны найти обратную функцию по модулю 27:
у = 2х + 3
2х = у — 3.
Чтобы найти x, мы должны умножить обе части уравнения на число, обратное 2.
Число, обратное числу 2 по модулю 27, — это целое число n такое, что 2n
14•2 = 28
Итак, мы имеем
x = 14•(у — 3).
Теперь мы можем расшифровать сообщение YSFMG.
Буква Y стоит на позиции 25, ей соответствует расшифрованная буква, стоящая на позиции
14•(25—3) = 308
Буква, стоящая в алфавите на позиции 11, — это L.
Для буквы S имеем 14•(19—3) = 224
Для буквы F имеем 14•(5–3) = 28
Для буквы М имеем 14•(12—3) = 126
Для буквы G имеем 14•(6–3) = 42
Расшифрованное сообщение является испанским словом LIBRO, что означает «книга».
Различные системы безопасности на протяжении многих веков использовали идею Цезаря и ее обобщение в виде аффинного шифра. В настоящее время любой шифр, в котором каждая буква исходного сообщения заменяется на другую букву, сдвинутую на фиксированное число позиций (не обязательно три), называется шифром Цезаря.
Одним из существенных достоинств хорошего алгоритма шифрования является способность генерировать большое количество ключей. И шифр Цезаря, и аффинный шифр уязвимы для криптоанализа, поскольку максимальное количество ключей ограничено.
Если мы снимем какие-либо ограничения относительно порядка букв шифроалфавита, то потенциальное количество ключей резко возрастет. Количество ключей для стандартного алфавита из 26 символов (расположенных в произвольном порядке) составляет 26! = 403291461126605635584000000, то есть более 403 септиллионов ключей. Криптоаналитику, который тратит на проверку одного ключа всего лишь одну секунду, потребуется в миллиард раз больше времени, чем ожидаемое время существования Вселенной, чтобы исчерпать все возможности!
Вот один из примеров такого обобщенного шифра подстановки:
Строка (1) — алфавит открытого сообщения. Строка (2) — шифроалфавит.
Первые шесть букв шифроалфавита дают подсказку к выбранному порядку букв: он соответствует порядку букв на клавиатуре в стандарте QWERTY. Чтобы зашифровать известное высказывание Цезаря VENI VIDI VICI («Пришел, увидел, победил») шифром QWERTY, для каждой буквы алфавита открытого сообщения мы найдем соответствующую в шифроалфавите.