Я впервые осознал, что такое бесконечность, ребёнком, когда оказался между двумя параллельными зеркалами в кабине лифта. «Что это?» — спросил я. Отец взял меня за руку и ответил: «Это бесконечность». С тех пор бесконечность для меня подобна далёкой, удивительной и пугающей стране, по которой лучше всего путешествовать, если кто-то держит тебя за руку.

Для всех нас бесконечность находится где-то далеко, в совершенно недостижимом месте, и в лучшем случае вызывает страх, в худшем — безмерный ужас. Однако альтернатива бесконечности также не слишком обнадёживает. Если Вселенная конечна, что находится за её пределами? Ответ: Ничто, с большой буквы. И это «Ничто» ещё невероятнее, чем бесконечность.

Иллюстрация Гюстава Доре к «Аду» — первой части «Божественной комедии» Данте Алигьери. Дантовский ад был синонимом бесконечных страданий и вечных мук.

По определению из словаря, «бесконечность» обозначает нечто чрезмерно великое, необычайно большое или продолжительное. Однако мы часто используем это слово, говоря «бесконечное пространство», «бесконечно много раз», «бесконечное время», «бесконечное терпение». Все мы понимаем смысл этих выражений, но если мы попробуем разобраться, что же имеется в виду на самом деле, то увидим, что наши способности размышлять о бесконечности ограничены, и мы быстро переходим к банальностям и клише, которые никак не помогают нам приблизиться к пониманию сути бесконечности. Это понятие имеет философскую природу: размышлять о бесконечности означает философствовать, а для таких размышлений нужно иметь какую-то отправную точку. Проще всего будет обратиться к словарю.

В толковом словаре русского языка слово «бесконечность» имеет четыре значения.

1. Отсутствие конца, предела наличию каких-либо однородных объектов в пространстве или последнего момента осуществления каких-либо процессов.

2. Пространство, не имеющее видимых границ, пределов.

3. Условная величина, которая больше любого наперёд заданного значения (обозначается знаком ).

4. Техн. Знак, метка, показатель условной величины, обозначающей предельную дальность действия прибора (используется в оптике, механике).

Проанализируем эту статью не с лингвистической, а с математической точки зрения и постараемся как можно ближе подойти к истинному значению этого слова.

Первое определение гласит, что бесконечность — это нечто, не имеющее конца, пределов. Сделаем несколько замечаний. Во-первых, обратим внимание на тонкое различие: когда мы говорим, что бесконечность не имеет конца, то мы утверждаем, что она существует и у неё отсутствует конец. Когда мы говорим, что бесконечность не может иметь конца, то утверждаем, что если она существует, то её предел недостижим. Вам может показаться, что это различие несколько натянуто, однако в нём проявляется разница между потенциальной и актуальной бесконечностью — двумя понятиями, о которых мы подробнее поговорим чуть позже.

Во втором определении речь идёт скорее о чувствах и ощущениях. Третье определение ближе всего к строгому математическому определению бесконечности. Обратите внимание на знак бесконечности, об истории возникновения которого мы поговорим далее.

Когда мы говорим «вечная любовь», то имеем в виду временной аспект бесконечности. Если же мы скажем, что Вселенная бесконечна, то речь идёт о её пространственном аспекте. Это определение по-прежнему расплывчато и по ощущениям напоминает вид звёздного неба в безлунную ночь: его чернота кажется нам беспредельной. Поэтому очевидно, что если мы хотим говорить о бесконечности, то первое, что мы должны сделать, — это выбрать в качестве отправной точки некий конкретный объект, и, хотя это может показаться парадоксальным, поскольку математика носит абстрактный характер, лучшей отправной точкой станет ряд натуральных чисел.

Как известно, нет ничего более «натурального», чем натуральное число, и в любой развитой культуре известен ряд чисел 1, 2, 3, … Когда заканчивается этот ряд? Разумеется, никогда. Но почему? Потому что мы всегда можем прибавить к последнему числу единицу и получить следующее число. Как вы увидите чуть позже, за этим ответом скрывается достаточно точное определение понятия «бесконечность». Как бы то ни было, ответ «никогда» имеет в том числе временной аспект.

Точно так же можно сказать, что мы «всегда» сможем добавить к этому ряду ещё одно число. Если мы будем приписывать к натуральному ряду числа, держа в руке часы, то увидим, что не только этот ряд, но и время, затраченное на его написание, будут бесконечно большими, что часто становилось причиной серьёзных неудобств при изучении бесконечности.

На карте Таро над головой Мага изображён знак бесконечности.

Проведём небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что у нас есть мяч, который обладает следующими свойствами: всякий раз, когда он падает на пол, он отскакивает на высоту, в два раза меньшую, чем высота, с которой он упал. Если, например, мяч упал с высоты двух метров, он отскочит от пола на метр, затем на 50 см и т. д. Допустим, что нам нужно решить следующую задачу. Мы бросаем мяч с высоты 10 м. Какое расстояние пройдёт мяч к тому моменту, когда он остановится? Нельзя сказать, что эту задачу невозможно решить, ведь мы понимаем, что в определённый момент мяч перестанет подпрыгивать — он не может подскакивать вечно. С другой стороны, можно предположить, что пройденный им путь будет бесконечно большим, так как делить пополам можно бесконечно, и всякий раз результатом деления будет всё меньшая и меньшая величина. Это типичный парадокс, связанный с бесконечностью (далее мы рассмотрим его подробнее), в котором фигурирует новое для нас понятие бесконечно малой величины.