Очевидно, что любое рациональное число является алгебраическим, так как всегда можно записать алгебраическое уравнение, решением которого будет это число.

Как мы уже показали, 2 является решением уравнения х2 – 2 = 0, и, следовательно, это также алгебраическое число.

Если число не является алгебраическим, его называют трансцендентным. Этот термин, введённый Эйлером, происходит от латинского transcendere — «превосходить» и означает, что вычисление таких чисел в некотором роде выходит за рамки привычных математических операций. Доказать трансцендентность числа порой очень и очень непросто. Французский математик Жозеф Лиувилль (1809–1882) доказал существование трансцендентных чисел и открыл метод, позволяющий получить некоторые из них. Первым числом, которое удостоилось чести быть помещённым в список трансцендентных, стало L (число Лиувилля), определение которого слишком сложно, чтобы приводить его здесь. Записывается оно следующим образом:

L = 0,1100010000000000000000010000…

В 1873 году французский математик Шарль Эрмит (1822–1901), ученик Лиувилля, доказал, что e (основание натурального логарифма, приближённое значение которого равно 2,718281828459043235360287471352…) не является алгебраическим числом. Получить это доказательство было непросто — оно не далось самому Эйлеру.

Одно из самых известных чисел в истории математики — это число  («пи»), равное отношению длины окружности к её диаметру. Доказательство трансцендентности е оказалось столь сложным, что Эрмит не решился взяться за аналогичное доказательство для числа , о чём написал Карлу Вильгельму Борхардту (1817–1880): «Я не осмелился приступить к доказательству трансцендентности числа . Если кто-то другой попытается это сделать, не будет человека счастливее меня, но поверьте мне, любезный друг, что это доказательство потребует немалых усилий».

Трансцендентность числа  была доказана Линдеманом лишь несколько лет спустя, в 1882 году. Это открытие стало важной вехой в истории математики, так как означало невозможность решения задачи о квадратуре круга.

Сегодня доказано, что трансцендентными являются числа е, , е, 22, sin(1), ln2, ln3/ln2 и некоторые другие, однако до сих пор остаётся открытым вопрос о трансцендентности таких чисел, как ei, и e. Известно, например, что по меньшей мере одно из двух чисел (возможно, оба сразу) e и +e является трансцендентным, но доказать трансцендентность каждого их них по отдельности до сих пор не удалось. Трансцендентные числа — редкие создания, обнаружить их непросто. Это наводит на мысль о том, что таких чисел немного, но в действительности это совершенно не так: их много, очень много, бесконечно много и даже больше.

Шарль Эрмит на фотографии 1887 года. Этот французский математик доказал, что число е не является алгебраическим.

Бесконечное множество вещественных чисел содержит рациональные числа, которые являются алгебраическими, и иррациональные числа, часть которых является трансцендентными. Однако трансцендентных чисел больше, чем алгебраических.

Кантор, обнаружив подлинную гениальность (полученные результаты изумили его самого), сформулировал простое доказательство того, что существует бесконечно много трансцендентных чисел. С одной стороны, известно, что множество вещественных чисел не является счётным. С другой стороны, множество алгебраических чисел является счётным. Из этих двух утверждений следует, что существуют числа, которые не являются алгебраическими. Более того, Кантор доказал, что множество этих чисел не является счётным.

Вывод: множество вещественных чисел так велико именно благодаря трансцендентным числам.

Арифметика трансфинитных чисел отличается от арифметики конечных чисел.

Георг Кантор

Как мы показали в предыдущем разделе, если дано множество А = {а, b, с, d}, можно образовать ряд его подмножеств

{а}, {b}, {с}, {d}, {а, b), {а, с}, {a, d), {b, с}, {b, d), {с, d), {а, b, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {b, с, d},

которые будут так называемыми собственными подмножествами А. Кроме них, подмножествами А также являются само множество А и пустое множество, обозначаемое символом O и не содержащее никаких элементов. Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества, и эти два множества (исходное и пустое) считаются несобственными подмножествами. Добавив к вышеприведённому списку собственных подмножеств эти два множества, мы получим полный перечень всех подмножеств А:

{O}, {а}, {b}, {с}, {d}, {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {c, d}, {с, d}, {а, b, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {b, с, d}, {а, b, с, d}, —

итого 16 подмножеств.

Заметим, что 24=16, таким образом, число подмножеств А равно 2 в степени, равной числу элементов А. Нетрудно доказать, что это соотношение справедливо для всех множеств. Таким образом, для любого множества, содержащего n элементов, число его подмножеств будет равно 2n.

Множество, образованное всеми подмножествами А, называется множеством степенью A и обозначается 

. Кантор доказал, что для любого множества его множество-степень больше, чем само множество, то есть оно содержит больше элементов, или, если быть математически корректными, его кардинальное число больше, чем у исходного множества. Будем обозначать кардинальное число А как |А|.

Изложенный выше результат можно записать так: