Шрифт:
IV. Немного арифметики на спичках
Задача 27-я
Это — задача-шутка, довольно забавная. На столе лежат 3 спички. Не прибавляя и не ломая ни одной спички, сделайте из этих трех спичек — четыре!
Решение
Вы делаете "четыре", — просто четыре, а не четыре спички — следующим образом (см. рисунки 40 и 41):
Таким же незамысловатым, но для многих неожиданным способом вы могли бы сделать из трех спичек шесть (VI), из четырех — семь (VII) и т. д.
Вот еще образчик задачи-шутки подобного же рода:
3 + 2 = 8!
Задача 28-я
На столе лежат 3 спички. Прибавить к ним еще две и получите… восемь!
Решение
И здесь выручает римская нумерация. Вот ответ:
3 + 2 = 8
Задача 29-я
На столе лежат 48 спичек, распределенные по трем кучкам. Сколько спичек в каждой кучке, вы не знаете. Зато вы знаете следующее: когда из первой кучки переложили во вторую столько, сколько в этой второй кучке имелось, затем из второй в третью столько, сколько в этой третьей имелось, и наконец из третьей в первую столько, сколько в этот момент в первой кучке имелось, — то во всех трех кучках оказалось спичек поровну. Можете ли вы сказать, сколько спичек было в каждой кучке первоначально?
Решение
Задачу нужно решать с конца. Нам говорят, что после всех перекладываний число спичек в кучках оказалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек во всех трех кучках не изменилось и, значит, осталось прежнее (48), то в каждой кучке после трех перекладываний оказалось по 16 спичек. Следовательно, к концу имеем:
Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько, сколько в ней имелось, т.-е. число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а 8 спичек; в 3-й же кучке, откуда эти 8 спичек были взяты, имелось 16 + 8 = 24. Теперь у нас такое распределение спичек:
Далее: мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 — это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до второго перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:
Легко сообразить, что раньше первого перекладывания, т.-е. до того, как из 1-й кучки было переложено во вторую столько спичек, сколько в этой второй имелось — распределение спичек было такое:
Это и есть первоначальное распределение спичек по кучкам. Нетрудно убедиться, проделав требуемые задачей переложения, что ответ верен.
Задача 30-я
Любопытно, что предыдущую задачу можно было бы решить даже и в том случае, если бы в условии не указывалось точного числа спичек во всех кучках. А именно, задачу можно было предложить в таком виде:
Из полного коробка вынуты несколько спичек, а остальные распределены по трем кучкам. Потом сделаны были следующие переложения: из 1-й кучки во 2-ю столько, сколько было во 2-й; из 2-й в 3-ю столько, сколько было в 3-й; из 3-й в 1-ю столько, сколько было в 1-й, — и тогда во всех кучках оказалось спичек поровну. Каково было первоначальное расположение спичек в кучках?
Решение
Пусть после третьего перекладывания оказалось каждой кучке по а спичек, т.-е. распределение стало такое:
До этого, — как вы легко сообразите сами — распределение было
Более раннее распределение:
А еще раньше:
Это и есть первоначальное распределение спичек по кучкам. Возможно оно, очевидно, лишь в том случае, если число спичек а делится без остатка на 8. Значит, число а может равняться 8, 16, 24 и т. д., а число спичек во всех трех кучках (3а) могло быть только 24, 48, 72 и т. д.
Но в коробке обычно бывает, примерно, около 55 спичек. Мы знаем, что из коробка было вынуто несколько спичек. Ясно, что единственное подходящее число в предыдущем ряду 48. Это и есть ответ задачи.