Шрифт:
Греческий ученый Евклид заимствовал информацию у вавилонян и открыл, как можно было бы измерить R, зная а и b. Оказывается, что если есть две стороны треугольника, которые перпендикулярны друг другу, формула Евклида говорит, что квадрат длинной стороны, R, равен сумме квадратов меньших сторон. То есть
R2 = а2 + b2
это формула Евклида для прямоугольных треугольников [13] .
13
Мы знаем ее как теорему Пифагора. (Примеч. пер.)
Таким образом, умножение комплексного числа на его конъюгат дает нам R – расстояние точки от центра.
5. Помножим а + ib на а – ib. Получается
а2 – iab + iab – i2b2.
Если помнить, что i2 = -1 и заметить, что – mb и +rnb взаимно вычитаются, то остается
(а + ib) х (а – ib) = а2 + b2.
Математики называют выражение (а + ib^ifl – ib) абсолютным квадратом числа (а + ib). Например, если а = 3 и b = 4, то абсолютный квадрат комплексного числа 3 + 4i будет равен (3 + 4i)x(3 – 4i) = 32 + 42 или 9 + 16 или 25. Это действительное число без всякой примеси мнимых чисел.
6. С математической точки зрения, процесс конъюгации похож на возведение в квадрат, но чуть-чуть отличается от него. Возведение комплексных чисел в квадрат дает другие такие числа, в то время как конъюгация и получение абсолютного значения дает действительные числа!
Вот как это получается. Если возводим комплексное число типа а + ib в квадрат, то умножаем его само на себя и получаем комплексное число, то есть сочетание действительного и мнимого чисел, поскольку:
(а + ib) х (а + ib) = а2 + аА + аА – b2 = а2 + 2аА – b2.
Но для того чтобы получить абсолютное значение комплексного числа а + ib, мы конъюгируем его, или умножаем его на его конъюгат:
(а + ib) х (а – ib) = а2 – mb + mb + -i2b2,
но поскольку i2 = -1, мы получаем
(a + ib) х (a – ib) = a2 + b2,
как в примечании 5. Таким образом, получение абсолютного значения числа похоже на возведение числа в квадрат, за исключением того, что абсолютное значение не содержит никаких мнимых чисел. В отличие от конъюгации, возведение комплексного числа в квадрат дает
a2 + 2aib —Ь2,
в то время как абсолютное значение, получающееся в результате конъюгации, это a2 + b2 – действительное число, поскольку в нем нет никаких i.
9. Единый мир в сновидении Паули
Оно (мнимое число) делает то инстинктивное или спонтанное, интеллектуальное или рациональное, духовное или сверхъестественное, о чем вы говорите, единым или монадическим целым, которое не могут представлять числа без i.
Внутреннее видение учительницы музыки из фантазии Вольфганга ПаулиДавайте передохнем и оглянемся на путь, который мы прошли в нашем путешествии до сих пор. После обзора знакомой территории мы двинемся дальше в рассмотрении комплексных чисел с помощью сна-фантазии нобелевского лауреата по физике Вольфганга Паули.
Обзор
Математика – это не только абстрактный инструмент, но и личное переживание. Всякий раз, когда вы видите сон или работаете со своими фантазиями, вы занимаетесь математикой точно так же, как когда вы считаете своих овец на пастбище.
Счет – это абстракция процесса осознания взаимодействия, который включает в себя замечание, маргинализацию, маркирование и развертывание. Счет сопоставляет события с данной стандартной совокупностью, например пальцами рук.
Общепринятая реальность (ОР) относится к реальности данного сообщества, выражаемой с помощью согласованного словесного и несловесного языка, включая числа и жесты.
Числовые основания (или основания систем счисления) – это основные числа, необходимые для создания более высоких чисел. Числовые основания зависят от структуры нашего осознания и от наших культур.