Существует так много аналогий между сновидением и волновыми функциями, что соблазнительно приравнивать их друг к другу как отражения одного и того же фундаментального необщепринятого опыта, лежащего в основе реальности. По-видимому, относящийся к НОР процесс сновидения может быть выражением того одного недвойственного мира, сферы, из которой возникают комплексные числа.

Мы можем использовать чувственный опыт, то есть сновидение, для понимания аспектов комплексных чисел, и наоборот. И сновидение, и комплексные числа дают нам понимание сути одного мира, невидимого или невыразимого словами в квантовой механике и в психологии.

Отражения, которые мы находим в математике квантовой физики, имеют аналогии в психологии в рефлексивной тенденции человеческой природы обращать внимание на определенные вещи, размышлять о них. Эти отражения в математике квантовой физики, по-видимому, указывают на саморефлексию и осознанность в самой природе, которая порождает реальность из глубинных чувств, наитий и сновидений, то есть из чувственного опыта.

1. Объяснение математики нелокальности электрона до наблюдения дается в следующей сноске.

2. Общее уравнение, или паттерн, для частицы описывает тенденцию ее обнаружения в положении x в определенное время t. Если мы называем эту тенденцию волновой функцией, тогда зависит от x и t (является функцией x и t).

Рис. 14.5. Волновой паттерн. Надпись на горизонтальной оси – Время

Поскольку зависимость иногда носит волноподобный характер, мы можем использовать общее волновое уравнение. В наиболее общей форме оно выглядит так:

что попросту означает, что – тенденция быть в точке x на экране в момент t – зависит от x и t периодическим образом. (Спасибо Лейбницу и Ньютону за создание дифференциального исчисления!)

В квантовой механике волновое уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных и может быть записано для одной частицы в одном измерении как

Волновое уравнение для одной частицы при отсутствии внешних сил

Одно из решений волнового уравнения можно записать как

= Ae i(t-x)

или как любое сложение или суперпозицию этих . Отметьте присутствие в приведенной выше формуле мнимого числа i. Поэтому представляет собой комплексное число. Читатель вспомнит это решение из главы 8 о комплексных числах, которые можно использовать для представления гармоник и музыки. (Математика комплексных чисел лучше всего подходит для систем с колебаниями вследствие обеспечиваемой ею легкости вычисления и выражения подобных движений.) См. примечания 2 и 3 к главе 8.

В любом случае, волновая функция имеет волноподобное решение, которое в общем виде можно выразить экспоненциальной формой

= Ae i(t-x)

Экспоненциалы делают дифференциальные уравнения очень простыми. При их подстановке сложное на вид уравнение становится алгебраическим, поскольку дифференциал экспоненциальной функции превращает показатель степени числа e в простой множитель.

Вторая производная делает то же самое, превращая в множитель еще одно i. Таким образом, дифференцирование экспоненциалов оказывается умножением.

В случае квантовой механики w представляет собой частоту, связанную с классическим выражением для энергии E = h, где h – постоянная Планка, и h = 2к. Волновое число к описывает импульс или момент количества движения электрона p = hk. Если бы мы знали точное волновое число, то знали бы импульс квантового объекта.

Замечательный аспект волнового уравнения, иногда называемый амплитудой, состоит в том, что абсолютный квадрат , который можно получить посредством конъюгации, дает вероятность нахождения частицы в точке x в момент времени t.

Отметьте, что из волновой функции для электрона при отсутствии внешних сил следует равная вероятность его нахождения в любом месте Вселенной! Это означает, что до измерения нам точно не известно, где находится частица. Однако абсолютное значение избавляется от мнимых факторов. Поэтому вероятность f для частицы не меняется в зависимости от пространства или времени. Частица обладает определенной энергией. Вот почему мы иногда говорим, что атом на определенном энергетическом уровне находится в стационарном состоянии.