Гимназические преподаватели Гейзенберга всегда отмечали его исключительные знания. Вернер по праву считался одним из лучших учеников в своем классе и всегда имел высший балл по математике. Возможно, благодаря соперничеству с братом, которое поощрял отец мальчика, при поступлении в гимназию Вернер знал намного больше, чем требовалось. Неудивительно, что преподаватель математики предлагал ему в дополнение к обычным задачам другие, более сложные. Отец, видя интерес сына к математике, достал для него несколько книг… написанных на латыни, чтобы убить одним выстрелом двух зайцев. Должно быть, отец переоценивал возможности Вернера – вместе с другими книгами он передал ему докторскую диссертацию по теории чисел Леопольда Кронекера, опубликованную в 1845 году Конечно, Гейзенберг многое в этой работе не понял, но зато познакомился с простыми числами, критериями делимости, теоремой Ферма и так далее. В результате в 1916 году музыка и теория чисел стали основными интересами Вернера.

В теории атомных спектров, на основе которой позднее была создана квантовая физика, основную роль играли именно целые числа. Однако сначала коротко расскажем о дискретности и непрерывности. Рассмотрим все десятичные дроби, целая часть которых равна нулю, например 0,73649100093. Существует бесконечное множество таких чисел, так как мы всегда можем добавлять к их записи все новые и новые знаки после запятой. Эти числа образуют непрерывное множество, так как для любых двух таких чисел можно найти третье число, заключенное между ними. Однако на этом бесконечном множестве можно выделить особые числовые ряды, например 1/2,1/3,1/4, 1/5 … или 1/22 , 1/32 , 1/42 , 1/52 … Эти ряды также будут содержать бесконечное множество членов, которые, однако, уже не будут образовывать непрерывного множества: к примеру, между 1/3 и 1/4 не заключено никакое число ряда. Говорят, что такие числа образуют дискретное множество. Теперь вернемся к атомным спектрам.

При прохождении солнечного света через призму образуется радуга. Каждый ее цвет характеризуется частотой или длиной волны. Эти величины связаны: произведение частоты на длину волны равно скорости распространения волны. Теперь рассмотрим нагретый светящийся газ, подобный тому, который можно увидеть в люминесцентных лампах. Если мы пропустим свет, излучаемый газом, через призму, то вместо радуги увидим несколько ярких линий, соответствующих определенным значениям частоты. Такой спектр называется дискретным. Кроме того, если пропустить через призму белый свет, который до этого прошел через газ, то на непрерывном спектре будут заметны темные линии, в точности соответствующие ярким линиям спектра этого же светящегося газа.

Светящиеся газы испускают излучение, которое можно проанализировать с помощью спектрометра. Основным элементом этого устройства является призма. Все остальные его компоненты – шкалы, линзы и другие оптические приборы – служат для точного измерения длин волн в видимой, инфракрасной и ультрафиолетовой частях спектра. Как показано на рисунке 1, при прохождении белого света через призму образуется непрерывный спектр из всех цветов радуги. Если же через призму проходит свет, испускаемый светящимся газом, то будут видны лишь несколько ярких линий, соответствующих определенным значениям частоты. В таких случаях говорят о дискретном спектре. Кроме того, если пропустить через призму белый свет, который до этого прошел через газ, то на непрерывном спектре будут заметны темные линии, соответствующие линиям спектра этого же светящегося газа.

Рис. 1

На рисунке 2 показана часть спектра водорода и ртути. Длины волн заключены в интервале между 660 и 190 нм (нанометр – одна миллиардная часть метра). Видимый спектр соответствует диапазону частот 400- 700 нм. Чтобы найти частоты этих линий, нужно разделить скорость света (300000 км/с) на соответствующие длины волн. Результаты будут пропорциональны разности двух энергий. На заре атомной физики ученые стремились рассчитать величины этих энергий, которые зависели от определенных квантовых чисел, по известным разностям энергий. Вскоре стало очевидно, что получить все возможные разности энергий в ходе экспериментов нельзя. В результате были определены различные правила выбора, в которых фигурировали квантовые числа.

Рис. 2

В 1860 году немецкие ученые Кирхгоф и Бунзен показали, что с помощью дискретных спектров можно обнаруживать различные химические элементы – как сегодня можно идентифицировать товар по его штрихкоду. Для этого достаточно составить подробный каталог частот, соответствующих каждому элементу. Кроме того, чтобы понять, откуда берутся лучи спектра, потребовалось определить отношения между наблюдаемыми частотами не только в видимой части спектра, но и в инфракрасной и ультрафиолетовой. Число лучей в подобном «штрихкоде» может быть огромным: так, число линий атомного спектра железа достигает нескольких тысяч.

Простейшим атомным спектром является спектр атома водорода – он содержит всего четыре луча в видимой части. Длины волн этих лучей были измерены в 1884 году шведским ученым Андерсом Ангстремом. В следующем году в исследовании принял участие Иоганн Бальмер, швейцарский учитель математики, который преподавал в технических школах и женских учебных заведениях Базеля. Спустя более 20 лет после защиты докторской диссертации Бальмер получил хабилитацию, а с ней – право преподавать в университете. Ученый не раз говорил друзьям и коллегам, что если ему дадут любой ряд чисел, то он сможет найти формулу, связывающую их. Один из коллег предложил ему недавно полученные результаты измерений спектра водорода, и Бальмер справился с задачей. Его открытие вызвало еще больший интерес, когда другие ученые обобщили результат Бальмера и смогли полностью описать атомный спектр водорода. Спектральные «штрихкоды» постепенно начали упорядочиваться. Частоты спектральных линий пропорциональны обратным квадратам двух целых чисел. Описывающее их математическое выражение, известное как формула Ридберга, выглядит так:

где m и n – два целых числа (m < n), R – постоянная Ридберга.

Однако формула Бальмера не имела под собой никакой научной основы. Теперь расскажем, какую роль в зарождении квантовой физики сыграли целые числа.

Каким образом Бальмер получил свою магическую формулу? Отправной точкой послужили четыре длины волны, выраженные в нанометрах: