Обобщим все вышесказанное. Если он двигает фишку вверх с вероятностью 1/6 и вниз с вероятностью 5/6, с точки зрения ожидаемых выигрышей она остается безразличной. Более того, она не может сыграть лучше, передвигая свою фишку влево или вправо, когда он пользуется смешанной стратегией.

Теперь давайте посмотрим на ситуацию с точки зрения ее действий и его выигрышей. Вычислим вероятность того, что она передвинет фишку влево, Влево и вправо, Вправо, чтобы он был безразличен к ее смешанной стратегии. Начнем с вопроса, какими будут его ожидаемые выигрыши.

Затем находим вероятность равноценности (indifference probability) Влево с помощью следующего уравнения:

Мы обнаружили, что он будет оставаться безразличным к ее смешанной стратегии, если она передвинет фишку влево с вероятностью 1/3, а вправо – с вероятностью 2/3.

Если мы соединим смешанные стратегии обоих игроков, получим уравнение Нэша для смешанной стратегии для игры в целом. Следовательно, даже при условии, что у нас нет уравнения Нэша для чистой стратегии, игра позволяет составить уравнение смешанной стратегии.

Эта стратегия работает и в отношениях, когда партнеры обмениваются с некоторой вероятностью различными поведенческими проявлениями: улыбками, совместным поеданием обеда или предложениями заняться сексом. То, что решение уравнения Нэша для игры может существовать, даже когда чистая стратегия невозможна, открывает большие возможности. Мы можем применить это уравнение к принятию и отклонению предложения заняться сексом с партнером.

Давайте вернемся к Эмми и Яну. Каждый день один из них предлагает партнеру заняться сексом. Исходя из того, что они получают одинаковые выигрыши, мы получаем следующую матрицу выигрышей:

Ян и Эмми ставят максимальную оценку (5, 5), соглашаясь на секс. Им нравится секс, и они хотят заниматься им как можно чаще. Они ставят друг другу низкие отметки (0, 0), отказываясь от секса. Это имеет смысл. В смешанных ячейках таблицы, где Эмми соглашается, а Ян отказывается, она чувствует себя несчастной, отверженной, поэтому ее выигрыш составляет -1, а выигрыш Яна – 1. Это указывает на то, что она чувствует себя отвергаемой, а он чувствует себя нормально. Этот результат симметричен – если Эмми отказывается, а Ян соглашается, она получает 1, а он – 1. Что выглядит вполне разумной психологической конфигурацией повторяющегося набора вероятностей. Это соответствует ситуации нашей гипотетической пары.

Прекрасно, но существуют ли уравнения Нэша для чистой стратегии – способы для обоих «игроков» получить наилучший результат? На самом деле, есть только один вариант.

Давайте взглянем на возможные варианты с точки зрения Яна:

Пятерка однозначно получает звездочку. А вот как выглядит таблица, если Ян отказывается заняться сексом:

В данном случае звездочку получает 1.

Вот как выглядит ситуация с точки зрения Эмми:

Здесь звездочку явно получает 5.

Если она отказывается от секса:

На этот раз звездочку получает 1.

Итак, сведем всё воедино:

Следовательно, существует лишь одно уравнение Нэша для чистой стратегии – то, где оба соглашаются на секс. Ничего удивительного!

Все, о чем мы говорили выше, имеет смысл. Но сейчас нам нужно выяснить вероятность того, что каждый партнер согласится на секс, а также ожидаемую частоту занятий сексом для этой пары.

Мы можем вычислить точку безразличия для Яна с помощью приведенных ниже матриц:

И:

Эмми будет соглашаться на секс только в 1/5 всех случаев и отказываться в 4/5 случаев, чтобы Ян был безразличен к ее смешанной стратегии с точки зрения ее ожидаемых выигрышей. А как насчет его смешанной стратегии?