Cтоял 1889 год, Анри Пуанкаре [114] сравнялось тридцать четыре года, и он был в расцвете творческих сил. Молодой муж и отец, подающий надежды преподаватель в Парижском университете, недавно избранный в престижную Французскую Академию наук, он всего несколько месяцев назад выдвинул гипотезу, которая произвела фурор на торжественном конкурсе: судя по всему, Пуанкаре дал ответ на одну из самых наболевших и трудных задач во всей математической физике. Все в жизни складывалось лучше некуда.

Нам это может показаться немного странным (хотя эта традиция при подходе к самым знаменитым задачам еще сохранилась), однако в конце XIX века нерешенные математические задачи частенько выставляли на конкурсы. Однако здесь был особый случай: патронировал конкурс его величество Оскар II, король Норвегии и Швеции. Мало того, что король Оскар II изучал математику в Упсале, он еще и сохранил тесные связи с академическим миром. Особенно он интересовался недавно основанным журналом «Acta Mathematica» [115] , который печатался в Стокгольмском университете (тогда он еще назывался Стокгольмским колледжем). Так что долго ждать не пришлось: кому-то пришла в голову блестящая идея объявить конкурс, которому покровительствовал сам король и результаты которого предстояло опубликовать в этом журнале. О конкурсе объявили в 1885 году и выбрали жюри, состоявшее из самых блестящих математиков Европы и Америки. Участники состязаний должны были дать ответы на четыре знаменитые математические задачи по выбору жюри, однако могли выдвинуть и собственную тему. Эффектным завершающим штрихом было то, что итоги конкурса и вручение призов в начале 1889 года были приурочены к шестидесятилетию Оскара II.

Первый вопрос, с которого начинался список, славился издавна. Называлась задача просто – «Гравитационная задача n тел» [116] . У этой задачи богатая история: она была сформулирована еще в конце XVII века, когда Исаак Ньютон опубликовал законы движения и тяготения. Законы Ньютона прекрасно объясняли форму планетных орбит, и на первый взгляд казалось, будто с их помощью можно рассчитать движение любого набора тел, вовлеченных в гравитационное взаимодействие – и трех тел, и четырех, и произвольного числа n. Ведь все тела притягивают друг друга с силой, которую легко вывести из закона всемирного тяготения Ньютона. Знаешь начальные условия – следовательно, имеешь возможность выполнить все подсчеты с какой угодно точностью.

Рассчитать движение двух тел, например, Солнца и какой-нибудь одной планеты, было относительно просто, однако Ньютон быстро понял, что если имеешь дело с более сложной системой, получается совсем другая история. Как видно, великого Исаака очень сердило, что он не может найти способ решить уравнения, и он писал: «Если не ошибаюсь, рассмотреть все случаи движения одновременно и определить их по точным законам и при помощи простых вычислений – задача, которая превосходит возможности человеческого разума».

Ньютон был, как, впрочем, и всегда, совершенно прав. Да, ни несколько строчек алгебраических выкладок, ни даже интегральное исчисление не дают математической кривой, которая описывала бы гравитационное взаимодействие n тел. Как и утверждал великий ученый, задача n тел оставалась нерешенной – к вящей досаде физиков и математиков. Нужно было качественное математическое доказательство его слов – а может быть (все может быть), просто несколько более хитроумный подход к решению.

По правде говоря, за время, прошедшее между Ньютоном и Пуанкаре, был достигнут заметный прогресс и найдены довольно точные способы приближенного расчета орбитального движения планет. К концу XVIII века ученые Пьер-Симон Лаплас и Жозеф-Луи Лагранж разработали по набору математических инструментов, способных как минимум предсказать общую картину движения в системе из множества планет за тысячи, а может быть, и миллионы лет. Отчасти секрет был в сугубо технических методах решения. И Лаплас, и Лагранж понимали, что орбиты в системе из множества тел «квазипериодичны»: влияние одних планет на другие означает, что каждая из них будет описывать полные круги по орбите за не совсем одинаковые промежутки времени. И при помощи определенных математических трюков можно опереться на это качество и предсказать общие тенденции в орбитальном движении в системе.

Рис. 9. Наглядная иллюстрация того, как стремительно возрастает сложность системы из тел, вовлеченных в гравитационное взаимодействие. Вверху слева изображены два тела, которые притягивают друг друга и вращаются по орбитам. Ситуация стабильна и поддается расчетам. Однако если тел уже три (вверху справа), требуются 3 набора координат в трехмерном пространстве, 3 трехмерных вектора скорости и 6 трехмерных векторов силы. Четыре тела (внизу) – 4 набора координат, четыре вектора скорости и 12 векторов силы, и все трехмерное, и все действует одновременно. Неудивительно, что Ньютон оставил попытки искать алгебраическое решение этой задачи.

Главный недостаток этих методов состоял в том, что они не позволяли отслеживать каждый момент в движении системы, а, в сущности, вычисляли средние значения сил, с которыми планеты притягивают друг друга и нарушают орбиты друг друга от оборота к обороту. Это очень хитроумные методы, ими и сегодня пользуются, чтобы получить ответы на вопросы о поведении планетных систем в целом, особенно для краткосрочных прогнозов. В свое время эти методы считались также доказательством детерминистической природы гравитационных систем, которые виделись частью «заводной Вселенной», приводимой в движение законами Ньютона.

Однако, несмотря на внешний лоск, это всего-навсего приближенные вычисления, гениальные математические фокусы, которые дают ответы на некоторые вопросы, но не на все. И к концу XIX века становилось все яснее, что нельзя ни пренебрегать всеми силами, которые участвуют в формировании траектории планеты в будущем, ни упрощать их.

Так что не приходится удивляться, что уже ставший знаменитым Пуанкаре увидел объявление о конкурсе короля Оскара [117] и с радостью принялся за самую первую задачу, поскольку если бы он решил ее, то навсегда вошел бы в учебники истории. И довольно быстро достиг существенных успехов. Пуанкаре считал, что нашел математическое доказательство того, что можно определить стабильность гравитационной системы из трех тел. А главное, он претендовал на то, что способен рассчитать их движение с произвольной точностью. Казалось бы, что может быть прекраснее, и хотя задача была решена лишь для трех тел, этого хватило, чтобы произвести впечатление на жюри, так что приз оказался у Пуанкаре в кармане.