Два года спустя Финстер, Камран, Смоллер и я представили на всеобщее обозрение то, что, по нашему мнению, представляло собой первое строгое математическое доказательство давней проблемы, сформулированной Роджером Пенроузом. В 1969 году Пенроуз предложил механизм высвобождения энергии из вращающейся черной дыры при уменьшении ее момента импульса. Этот сценарий предусматривал распад падающего в черную дыру тела на два фрагмента, один из которых пересекает горизонт событий и затягивается в черную дыру, а второй отбрасывается прочь от дыры с энергией, большей, чем энергия первоначального тела. Вместо того чтобы рассматривать материальную частицу, мы с коллегами сосредоточили внимание на ее аналоге – а именно на волне, распространяющейся по направлению к черной дыре, доказав, что со стороны математики против так называемого процесса Пенроузавозражений нет. При обсуждении нашего доказательства на Гарвардской конференции по геометрическому анализу, проходившей в 2008 году, Смоллер пошутил, что однажды при помощи этого механизма можно будет навсегда разрешить проблему мирового энергетического кризиса.

Впрочем, несмотря на вклад геометров в разрешение загадок черных дыр, изучение этих объектов в настоящее время находится в большей степени в руках астрофизиков, наблюдающих явления, происходящие вблизи самого края горизонта событий – границы, за пределами которой никакие наблюдения невозможны, поскольку ничто, включая свет, не способно вернуться «с той стороны». Тем не менее если бы не работы теоретиков, таких как Хокинг, Пенроуз, Джон Уиллер, Кип Торн и другие, вряд ли астрономы сосредоточили бы свое внимание на поисках именно этих объектов.

Описанные мной достижения имеют огромное значение, но я не хочу, чтобы у вас возникло впечатление, что возможности геометрического анализа на этом исчерпываются. Я сознательно ограничился только теми результатами, которые мне известны лучше всего, в получении которых я принимал непосредственное участие. В то же время данная область математики является намного более обширной, представляя собой плод усилий более чем сотни первоклассных ученых всего мира, и описанные мной задачи представляют лишь небольшой фрагмент общей картины. Кроме этого на протяжении большей части этой главы, темой которой является геометрический анализ, мы ни разу не упомянули некоторые из крупнейших достижений нашей дисциплины. Объять необъятное я не в состоянии; один лишь перечень успехов геометрического анализа, который я составил в 2006 году, занимает семьдесят пять страниц плотного текста, поэтому мы рассмотрим только те три из них, которые я считаю наиболее важными.

Первое из этих ключевых достижений лежит в области четырехмерной топологии. Основная задача тополога не сильно отличается от основной задачи таксономиста: классифицировать все возможные типы пространств или многообразий, допустимых для данной размерности. Многообразиемназывается пространство или поверхность любой размерности, поэтому мы можем использовать эти термины как синонимы.

В следующей главе мы рассмотрим многообразия более подробно. Топологи пытаются свалить в одну кучу различные объекты, имеющие одинаковую базовую структуру, даже если те совершенно не похожи внешне и даже различаются в отдельных деталях. Так, двухмерные поверхности – при условии их компактности, то есть замкнутости и ограниченности, и ориентируемости (наличии внешней и внутренней стороны) – можно классифицировать по количеству имеющихся дырок: тороидальные поверхности имеют по крайней мере одну дырку, тогда как топологическими сферами называются поверхности, которые дырок не имеют вовсе. Если число дырок для двух подобных поверхностей одинаково, то для тополога они эквивалентны, несмотря на всю разницу в их внешнем виде. Так, и чашка кофе и сушка, которую в нее обмакнули, являются торами первого рода. Тем же, кто предпочитает сушки с молоком, интересно будет узнать, что стакан, из которого они пьют, топологически эквивалентен сфере – его можно получить, протолкнув северный полюс в направлении южного и чуть подкорректировав форму полученного объекта.

Если двухмерный случай был досконально изучен более столетия назад, то ситуация для более высоких размерностей выглядела намного сложнее. «Удивительно, что классификация поверхностей становится проще для пяти измерений и выше, – заметил математик Уорикского университета Джон Д. С. Джонс. – Сложнее всего работать с тремя и четырьмя измерениями».[36] К несчастью, именно случай трех и четырех измерений является важнейшим в физике. Уильям Тёрстон в 1982 году разработал схему классификации трехмерных поверхностей, разделив их на восемь основных типов геометрии. Его гипотеза, известная как гипотеза геометризации Тёрстона, была доказана два десятилетия спустя, о чем вкратце будет рассказано далее.

Атака на четвертое измерение началась примерно в то же время, когда Тёрстон высказал свое смелое предположение. Четырехмерные пространства тяжело не только представлять, но и описывать математически. Чтобы наглядно представить себе четырехмерный объект, вообразите трехмерный объект, форма которого изменяется со временем, например пульсирующий баскетбольный мяч, который периодически сжимается и вновь восстанавливает прежнюю форму. Детальная геометрия таких объектов весьма запутанна, если не сказать больше, однако она является ключом к пониманию того четырехмерного пространства-времени, в котором мы живем.

Некоторые из ключей к разгадке геометрии четырехмерных объектов были найдены в 1982 году, когда Саймон Дональдсон, в то время аспирант Оксфордского университета второго года обучения, опубликовал первую из нескольких статей, посвященных структуре четырехмерного пространства. Чтобы открыть окно в четвертое измерение, Дональдсон воспользовался нелинейными уравнениями в частных производных, разработанными в 1950 году физиками Чжэньнином Янгом и Робертом Миллсом. Уравнения Янга-Миллса, объединяющие сильное взаимодействие, ответственное за поведение кварков и глюонов в атомном ядре, со слабым, связанным с радиоактивным распадом, и электромагнитным – взаимодействием между заряженными частицами – работают именно в четырехмерном пространстве. Вместо того чтобы решать эти уравнения «в лоб», для чего необходимо было бы вначале установить геометрические и топологические особенности соответствующего пространства, Дональдсон подошел к проблеме с другой стороны: он рассудил, что решения уравнений должны содержать в себе информацию о том четырехмерном пространстве, в котором они работают. Точнее, данные решения должны привести к установлению некоторых ключевых величин, характеризующих соответствующие им пространства, – математики называют эти величины инвариантами, – которые впоследствии используются для определения тождественности или различности этих пространств.

Работа Дональдсона не только пролила свет на разыскиваемые им инварианты, но также позволила обнаружить весьма неожиданный и загадочный факт, а именно существование неизвестного прежде класса «экзотических» пространств, возможных только в четырех измерениях. Чтобы объяснить, что в данном контексте значит слово экзотический, необходимо вначале затронуть вопрос о том, какие две поверхности или многообразия можно считать идентичными. У математиков существуют различные методы сравнения многообразий. Первый из них связан с представлением о топологической эквивалентности. Проиллюстрировать этот метод можно при помощи примера со сдутым и накачанным мячом. Два объекта называют топологически идентичными, или гомеоморфными, если один из них можно преобразовать в другой исключительно путем изгиба, сжатия или растяжения, не прибегая к разрезам. Подобный переход от одного многообразия к другому носит название непрерывного отображения. Это отображение является взаимно-однозначным, то есть каждая точка одной поверхности соответствует строго определенной точке другой поверхности. Более того, точки, находившиеся в непосредственной близости друг от друга на первой поверхности, после подобного отображения по-прежнему останутся рядом.