Сложение.

Сколько же будет, если к двум яблокам прибавить три?

Не знаю. Мы это делали с апельсинами.

Этот анекдот, как ни странно, очень правдоподобен. В нем схвачена и доведена до абсурда очень важная особенность мышления, с которой вплотную столкнулись психологи, разрабатывающие новую методику обучения математике.

Все дело в том, что можно считать предметы по крайней мере двумя различными способами. И до сих пор авторы программ и учебников по арифметике для первого класса шли по тому пути, который казался им наиболее простым и единственно доступным для первоклассника: скажем, для того чтобы внушить ему представление о числе «два», рисуют две ягоды, два яблока, двух мальчиков, две точки и т. д. Ребенок привыкает к тому, чтобы связывать понятие «двух» с двумя отдельными предметами. Именно по этому принципу считал «крошка Джемми» в повести Диккенса «Меблированные комнаты миссис Лиррипер». Майор Джекмен говорит ему: «Мы имеем вилку для поджаривания хлеба, картофелину в натуральном виде, две крышки, одну яичную рюмку, деревянную ложку и две спицы для жарения мяса; из них для коммерческих надобностей требуется вычесть рашпер для килек, кувшинчик из-под пикулей, два лимона, одну перечницу, одну тараканью ловушку и одну шишку от буфетного ящика. Сколько останется?

Вилка для поджаривания хлеба! — кричит Джемми.

В числах сколько? — спрашивает майор.

Единица! — кричит Джемми».

Надо сказать, что такой способ счета (каждая единица— отдельный предмет) восходит к самой глубокой, можно сказать первобытной, древности. Известно, что чабаны не пересчитывают своих овец (в нашем смысле): они воспринимают каждую овцу не как некий эквивалент «единицы», а как овцу во всей совокупности ее индивидуальных свойств и особенностей. Их «пересчет» стада превращается в своего рода перебор овечьих индивидуальностей. Такой способ счета отражен и в очень многих языках, где невозможны числительные без указания на то, что именно считается: количество предметов оказывается неотделимым от их качества; мы считаем не вообще предметы, а в каждом случае совершенно определенные. Например, в чукотском языке просто невозможно считать «вообще». Известный специалист по чукотскому языку П. Я. Скорик в своей грамматике этого языка рассказывает: «На первых порах обучения чукчей грамоте неучет особенностей чукотских числительных создавал большие трудности, которые в то время были особенно ощутимы. Автору пришлось испытать эти трудности в двадцатых годах, работая в школе и по ликбезу. Чукчи (и дети, и взрослые) совершенно не понимали арифметических действий с отвлеченными числами... и хорошо их усваивали в связи с конкретными предметами». Значительное количество языков имеет даже специальные числительные для разных предметов. Например, в языке нивхов на острове Сахалин «пять» выражается по-разному, если мы считаем лодки, нарты, связки вяленой рыбы-юколы, невода и т. д. В некоторых языках есть слова, которыми можно считать только предметы одного типа (например, в кхмерском языке деревья и карандаши считают «стволами»: говорят «два ствола карандашей»). Кстати, в том же кхмерском языке существуют специальные числительные «пхлон» (40) и «слэк» (400), употребляемые только при счете некоторых фруктов и овощей. В русском языке такие «счетные слова» тоже встречаются, но они не обязательны и даже воспринимаются как ненужные: «сорок голов скота», «пять человек детей», «шесть названий книг», «двадцать штук портфелей»...

Но вернемся к первоклассникам. Способ счета по отдельным предметам отнюдь не самый лучший и не самый удобный. Пользуясь им, ребенок то и дело попадает впросак. Он может наглядно представить те предметы (яблоки, счетные палочки и т. д.), которые он, например, складывает. Но с трудом переходит к счету вообще, к пониманию арифметических действий.

Сила и слабость мышления

Можно, однако, учить считать гораздо более удобным способом. Новая методика опирается как раз на иной принцип счета, основанный на сравнении с заданным образцом. Для считающих «по-старому» шесть чашек всегда, конечно, «шесть», и ничего более. Для считающих «по-новому» это «шесть», если сравнивать с одной чашкой, «три», если сравнивать с двумя, и «два», если сравнивать с тремя чашками. Этим мы с самого начала исключаем принцип «наглядности», принцип «набора отдельностей», и достигаем настоящей абстракции, формирования понятия числа. Представление отступает и дает место мышлению.

А это очень и очень важно. Ведь в том и сила мышления, что оно позволяет нам вскрывать такие особенности вещей, которые невозможно ни наблюдать, ни представить себе. Владимир Ильич Ленин заметил по этому поводу: «Представление не может охватить движения в целом, например, не схватывает движения с быстротой 300 ООО км в 1 секунду, а мышление схватывает и должно схватить». Так вот: если старая методика учила, как лучше представлять, а как мыслить — оставляла на совести обучаемого, то новая методика учит как раз мыслить.

Итак, долой наглядность и да здравствует мышление? Нет. Дело обстоит не так просто. Существуют и такие коварные задачи, которые по старинке, при помощи наглядного представления, решаются гораздо лучше. Вот одна из них. На полке стоят два тома Энциклопедического словаря, каждый объемом в 500 страниц. Книжный червь прогрыз книги от первой страницы первого тома до последней страницы второго тома. Сколько страниц он прогрыз?

Практически все, кто впервые встречается с этой задачей, отвечают: «Тысячу». И ошибаются — как раз потому, что пренебрегают наглядностью. Достаточно взглянуть на полку или, перевернув страницу этой книги, на рисунок, чтобы сразу увидеть, что червь прогрыз всего- навсего две крышки переплета.

Казалось бы. здесь совершенно очевидно, что наглядность торжествует. Однако если вдуматься в условия задачи, то легко увидеть, что торжествует она лишь потому, что словесная формулировка условий задачи, в сущности, противоречит реальному положению вещей, и мы, отвечая: «1000 страниц», просто-напросто идем на поводу у языка: ведь первая страница первого тома совершенно явно противополагается в языке последней странице последнего тома.

Язык — орудие мышления

К счастью, язык не так уж часто вводит нас в заблуждение. Обычно он служит нам верой и правдой. Больше того, именно использование языка обусловливает теоретическое мышление человека. И это в полной мере относится не только к взрослому человеку, но и к ребенку, мыслительные способности которого только еще формируются.

Язык оказывается верным помощником человека и в том случае, о котором мы говорили выше — при обучении первоклассников арифметике. Если обучать ребенка по-новому (учить мыслить), то на первое место выступает словесная формулировка задачи. Такой способ обучения опирается на определенную психологическую теорию — «теорию умственных действий», разработанную доцентом Московского университета П. Я. Гальпериным. Согласно «теории умственных действий», человеческая мысль (умственное действие) зарождается всегда как действие внешнее — с материальными предметами. Чтобы научить ребенка считать, ему надо сначала научиться оперировать с реальными предметами. Затем выработанное таким путем умение как бы свертывается, «врастая» в сознание человека. Проще говоря, оно из внешнего делается внутренним.