Подставив это значение в уравнение у = —х + 1, получим у = 1.

Таким образом, результатом операции над Р и Q будет точка Р + Q с координатами (0, —1).

Заметим, что в этом случае результатом операции над двумя целочисленными решениями уравнения вновь будет целочисленное решение.

В общем случае это верно тогда, когда коэффициенты уравнения являются целыми числами. Доказательство этого утверждения, по сути, ничем не отличается от доказательства приведенной выше леммы.

Мы преодолели первое препятствие: мы показали, что если прямая проходит через две несимметричные точки эллиптической кривой, то она также пересечет кривую в третьей точке. Но что произойдет, если точки Р и Q симметричны?

100

Они будут иметь координаты Р = (x1, y2) и Q = (х1—у2), а соединяющая их вертикальная линия будет задаваться уравнением х = х1 Подставив в уравнение эллиптической кривой х = x1 получим у² = х13 + ах1+b. Мы исключили переменную х и получили, что y² равно вещественному числу. Это уравнение имеет всего два решения, ух и — yv следовательно, прямая, соединяющая Р и Q, не будет пересекать эллиптическую кривую ни в одной другой точке. PQ не существует! Как же справиться с этой проблемой? Решение подскажут художники Возрождения, которые изобрели перспективу. Чтобы сделать свои полотна более реалистичными, они изображали параллельные прямые сходящимися в удаленной точке, называемой точкой схода. Последуем примеру художников и будем считать, что наша вертикальная прямая пересекает эллиптическую кривую в третьей точке О, расположенной на бесконечности. Эта точка будет играть роль точки схода.

Фреска «Троица» работы Мазаччо (1401-1428) — первого художника эпохи Возрождения, который использовал в своих работах математические законы перспективы, чтобы придать им ощущение глубины.

101

Точка О будет иметь реальный математический смысл, если мы введем третью переменную z так, что уравнение эллиптической кривой примет вид y²z = x3 + axz² + bz3.

Теперь все члены уравнения имеют третью степень. Это в некотором смысле означает, что отличить тройку (х, у, z) от любой из кратных ей ненулевых троек (Λх, Λy, Λz) невозможно: если мы подставим эти значения в уравнение, то всегда сможем сократить общий множитель Λ3. Мы получили координаты, которые называются однородными и обозначаются (х: у: z), чтобы указать, что две точки, которые на первый взгляд кажутся различными, как, например (1: 2: 3) и (2: 4: 6), в действительности совпадают, так как имеют кратные координаты. Можно предполагать, что координата z принимает только значения 0 и 1. При z = 1 уравнение кривой примет вид y² = x3 + ах + b и мы получим те же самые точки, которые рассматривали вначале. При z = 0 имеем x3 = 0, следовательно, х также равен 0. Так как три координаты не могут быть равны нулю одновременно, у должен быть отличным от нуля. Однако все точки вида (0: у: 0) равны, так как имеют кратные координаты, следовательно, можно предположить, что у — 1. Имеем новую точку (0:1: 0), которая не принадлежит кривой y² = x3 + ах + b. Это и будет наша точка О!

Подведем итог: сначала мы доказали, что любая прямая, не расположенная вертикально и проходящая через две точки эллиптической кривой, также пересечет кривую в третьей точке. Теперь, введя бесконечно удаленную точку, мы показали, что это же утверждение верно и для вертикальной прямой. Следовательно, можно определить операцию над любыми несовпадающими точками Р и Q. Но что, если эти точки совпадают? Начнем с того, что рассмотрим две различные точки Р и Q и будем постепенно приближать точку Q к точке Р. Прямые, соединяющие Р и Q, также будут смещаться. Пределом этих прямых будет касательная к кривой, которая в окрестностях точки Р не будет пересекать кривую ни в одной другой точке.

Касательная к кривой в точке P.

102

Когда точки Р и Q будут совпадать, будем рассматривать не прямую, соединяющую Р и Q, а касательную к кривой в точке Р. Путем аналогичных рассуждений можно показать, что эта прямая пересечет кривую в другой точке РР. Найдя точку, симметричную РР относительно оси абсцисс, получим искомый результат операции

Р + Р = 2Р.

Осталось прояснить одну небольшую тонкость: так как мы добавили к нашей кривой точку О, необходимо определить, каким будет результат операции над О и произвольной точкой кривой. Когда мы работаем с однородными координатами, точка О имеет тот же статус, что и все прочие точки кривой, следовательно, мы можем провести прямую, проходящую через О и Р, и повторить описанные выше рассуждения. При этом неизменно будет выполняться равенство О + Р = Р, таким образом, О — нейтральный элемент для определенной нами операции над точками эллиптической кривой.

Итак, мы определили операцию, которая любой паре точек кривой (совпадающих или нет) ставит в соответствие третью точку. Докажем, что эта операция является групповой. Мы уже указали, что О — нейтральный элемент группы. Определить точку, обратную точке Р, очень просто: эта точка (обозначим ее Р') будет симметрична ей относительно оси абсцисс, так как прямая, соединяющая Р и Р', расположена вертикально, следовательно, пересекает кривую в точку О, и Р + Р' = О.

Чтобы показать, что эта операция действительно определяет группу на множестве решений уравнения y² = x3 + ах + b, осталось доказать, что она обладает свойством ассоциативности.

Пусть Р, Q и R — три произвольные точки кривой. Мы хотим убедиться, что

(P + Q) + Р = Р + (Q + P).

103

Для этого достаточно доказать, что прямая l1 соединяющая P+Q и R, пересекает кривую в той же точке, что и прямая l2, соединяющая Р и Q +R, следовательно, достаточно построить симметричные точки.

Сначала проведем прямую, соединяющую Р и Q, и найдем точку, в которой эта прямая пересечет кривую. Обозначим эту точку через PQ. С помощью этих двух вспомогательных прямых получим точку Р + Q. Соединим Р + Q и R прямой l1 и посмотрим, в какой точке эта прямая пересекает кривую. Обозначим эту точку через Т.

Теперь найдем Р + (Q + R) и обозначим ее на том же рисунке. Прямая, соединяющая Q и Р, пересекает кривую в точке QR. Симметричной ей будет точка Q + R.

Нужно доказать, что прямая l2, соединяющая Q + R и Р, пересекает кривую в точке Т.

104

Обозначим через C1 объединение трех прямых, изображенных пунктирной линией. Учитывая, что точка схода О принадлежит прямой, соединяющей QR и Q + R, заметим, что C1 пересекает эллиптическую кривую в следующих девяти точках: