Измерение подразумевает сравнение.

Возможно, самыми первыми возникли потребности в измерении расстояний и оценке количества еды. Во многих культурах расстояния измерялись по времени в пути — в днях пути пешком, на лошади, в повозке и так далее. Сегодня мы по-прежнему оцениваем длительность туристических походов по времени в пути. Количество еды измерялось с помощью емкостей для хранения — корзин, чашек, мешков и так далее. Подобные единицы до сих пор широко применяются в быту: когда мы готовим рис на четверых, мы не используем весы, а отмеряем определенную долю стакана на человека.

В разговоре о различиях между счетом и измерением возникают математические понятия дискретного и непрерывного. Их можно сравнить с понятиями дискретного и непрерывного в физическом мире, описывающими, к примеру, подсчет числа овец и измерение объема воды. При подсчете можно выделить отдельных овец, воду же сосчитать нельзя, а можно лишь измерить ее объем. Если говорить математическим языком, то счет — это действие, выполняемое с целыми числами, максимум — с дробями, то есть рациональными числами (

), в то время как для измерений используются вещественные числа () — в математике ими выражается та самая непрерывность, которой обладает вода. Если мы посмотрим, как производятся измерения в физическом и математическом мире, то увидим новые различия между дискретным и непрерывным.

В физическом мире измерения производятся путем сравнения с эталоном, выбранным в качестве единицы измерения. Для этого используются единицы, кратные или дробные эталону; результат сравнения представляет собой рациональное число. Попробуем измерить длину одной из сторон стола карандашом. Карандаш будет эталоном, а стол — объектом измерения. Скольким карандашам равна длина стола? Во время работы над книгой мы сами провели этот эксперимент. Длина стола оказалась больше 7 карандашей, но меньше 8, то есть равной некоторому числу между 7 и 8. Чтобы выразить результат измерения, нам понадобятся дроби. Для этого нужно измерить расстояние от точки, где заканчивается седьмой карандаш, до края стола. Какой части карандаша будет равно это расстояние? Половине, трети, четверти? Подобные эмпирические рассуждения и оценку на глаз проводили древние египтяне, которые использовали только дроби с числителем, равным 1 (и, в качестве исключения, дробь 2/3). Если при измерении стола на глаз мы определили, что восьмой карандаш выступает за край, к примеру, на одну четверть, то длина стола будет равной 7 и 3/4. Если же мы хотим получить более точный результат, то можем обратиться к теории пропорций, созданной древними греками, перенести меру на бумагу и применить теорему Фалеса. Допустим, что длина стола в этом случае равна 7 и 2/3.

Результаты измерений в повседневной жизни выражаются в виде дробей или десятичных дробей с конечным числом знаков в зависимости от использованного метода и измерительного инструмента. В обоих случаях результатом измерений будет рациональное число. В примере с нашим столом результат измерений, выраженный в виде дроби, равен 7 и 2/3, в качестве единицы измерения использовался карандаш. При измерении стола с помощью рулетки мы получим результат в 1,40 м — конечную десятичную дробь. В реальной жизни измерение представляет собой приближение и зависит от измеряемого предмета, вида измерительного инструмента и точности измерений.

* * *

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

Вещественные числа (обозначаются

) — это множество чисел, включающее как рациональные числа (положительные, отрицательные дроби и ноль; обозначаются

), так и иррациональные (алгебраические и трансцендентные), которые имеют бесконечно много непериодических знаков после запятой и которые нельзя представить в виде дроби, как, например, 2,  и так далее.

Примеры вещественных чисел (

).

Начиная от натуральных чисел (

) — 1, 2, 3, … — которые мы используем при счете, — и заканчивая вещественными числами (

), которые нужны для измерений в математических моделях, последовательное расширение множеств чисел можно объяснить необходимостью в числах, которые будут выражать результаты определенных операций:

Целые числа (

) позволяют выразить результат 3 – 4 = -1, рациональные (

) — (3/4) = 0,75, вещественные (

) — 2, комплексные (

) — -4.

* * *

Точные измерения возможны только в математических моделях. Что и как измеряют математики? В этой науке измерения всегда были тесно связаны с геометрией — разделом, который изучает свойства фигур и тел на плоскости и в пространстве. Интересно отметить, что истоки геометрии восходят к решению конкретных задач, связанных с измерениями.

В элементарной геометрии приводится общее описание объектов и фигур, носящее качественный характер. Если мы хотим получить более конкретное и точное описание, требуется применить количественный подход — и здесь необходимы измерения, а для выражения результатов измерений нужны цифры. Отрезки имеют длину, участки плоскости — площадь, тела в пространстве — объем.

В математических моделях результаты измерений непрерывны, и для того чтобы выразить их, множества рациональных чисел недостаточно — его нужно расширить и включить в него все числа, которые покрывают числовую прямую, то есть вещественные числа. В повседневной жизни мы часто измеряем длину. В математической модели при измерении длины мы откладываем рассматриваемый отрезок вдоль прямой линии и устанавливаем соответствие между точками прямой и обозначающими их вещественными числами.