Вейерштрасс восхищался математическими способностями своей ученицы: «Что касается математического образования Ковалевской, то могу заверить, что я имел очень

71

немногих учеников, которые могли бы сравниться с нею но прилежанию, способностям, усердию и увлечению наукой»,— писал он Фуксу [13, с. 346].

В 1874 г. Вейерштрасс возбудил перед Геттингенским университетом вопрос о присуждении С. В. Ковалевской степени доктора философии in absentia (т. е. заочно) и бед экзаменов. В ряде писем, посланных по этому поводу профессорам Геттингенского университета, Вейерштрасс дает характеристику трех работ, представленных Ковалевской, из которых каждая, по его мнению, была достаточна для получения искомой степени [13, с. 344].

Первая из этих работ, «К теории уравнений в частных производных» [1], содержит доказательство теоремы существования голоморфного решения системы уравнений с частными производными нормального вида. Известно, что Коши в 1842 г. дал теорему существования для линейной системы уравнений с частными производными и указал, как привести к этому случаю нелинейную систему [138, 139]. Однако Ковалевская, как и Вейерштрасс, не знала этих работ Коши.

Заметим, что голоморфной, или аналитической, функцией переменных Xi, х2, ..., хп в окрестности точки яД х%,..., Хп называется функция, разложимая в ряд:

F (Xfo Х%, • • • > #n) === 21 ^SiS2 ... {%1 #i) ^

SA...Sn n

X (хг — 4)Ss ...(xn — 4)®*,

сходящийся при достаточно малых значениях \xi—Xi 1, j = 1, 2, ..., п.

Теорема Коши — Ковалевской в настоящее время формулируется следующим образом [140].

Дана система уравнений

д %ui

п, === Fi (t, Х\, * * • у хП1 Uiy ••• у Un у.. • dt 1

\ (1>

диз ...I

dt1''" х^1 . . . дх^п J

(h ] = I» 2,..., N’ ко -|- ki 4- • • • + кп = к^ ге*, ко ^

имеющая нормальную форму. Это значит, что среди прощн водных по t наивысшего порядка щ от каждой функции ии

72

входящих в систему, должна содержаться производная dntUi/dtnti причем система разрешена относительно этих производных.

Пусть теперь при t=t° заданы начальные значения неизвестных функций щ и их производных по t до порядка

П\ 1 :

|(&=0 соответствует сама функция щ).

При этом все функции <p.W заданы в одной и той же области G(xu ..., хп).

Задачей Коши называется нахождение решения системы (1) при начальных условиях (2). Если все функции Fi аналитичны в некоторой окрестности точки (t°, Xi°,

cp^ № '"к )и все функцииФ^}аналитичны в окрестности точки (t°, xt°,..., хп°), то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки (?°, ...,#п°), и притом единственное в классе аналитических функций. Здесь

При доказательстве Ковалевская пользовалась мажорантными функциями по Вейерштрассу:

а не по Коши:

Доказательство Ковалевской проще доказательства Коши, и, по словам Пуанкаре, она дала теореме ее окончательную форму. Теперь эта теорема входит в основные курсы анализа [141, с. 380]. Особенно же существенно в работе Ковалевской то, что она установила важное значение приведения системы к нормальному виду. Это выясняется на примере, данном Ковалевской, простейшего уравнения (уравнения теплопроводности), для которого задача Коши, если это уравнение написано не в нормальной форме, нё имеет голоморфного решения,— это было значительное

(? = 0, i,...,ni — 1)

(2)

atkodxkl , . . дх*пп ,=(0

73

открытие для того времени. (Бейерштрасс писал, что первоначально Ковалевская показала это для более сложного уравнения.)

Пример Ковалевской. Найти решение уравнения

0ф 02ф

’ dt дх2 5

удовлетворяющее условию ф(я, i) =1/(1—х) при ?=0. Нетрудно видеть, что если есть аналитическое решение, то оно должно представляться рядом по степеням U

со

(2tt)l

п\

tn

(1 _ (Г)2П-Ы

который, однако, расходится при всех t?=0. Следовательно, аналитического решения такого рода не существует.

О. А. Олейник в своем докладе «Теорема С. В. Ковалевской и ее роль в современной теории уравнений с частными Производными», сделанном й Институте проблем механики АН СССР в 1975 г. в связи с 125-летием со дня рождения С. В. Ковалевской, сказала, что теорема Ковалевской находит важные и существенные применения в исследованиях по теории уравнений с частными производными, выполненных вплоть до самого последнего времени, и тонкие современные исследования все в большей степени выявляют ее глубокий и завершенный характер.