В отличие от теории Бора уравнение Шрёдингера с успехом применялось к огромному числу других задач, включая атомы, отличные от водорода, а также небольшие и крупные молекулы. Как уже упоминалось, для систем крупнее атома водорода, то есть для атомов и молекул, состоящих более чем из двух частиц, уравнение Шрёдингера нельзя решить точно. Однако было разработано множество эффективных приближённых методов решения уравнения Шрёдингера для атомов, молекул и других типов квантовомеханических систем. Благодаря развитию компьютеров и их огромной вычислительной мощности стало возможно решать уравнение Шрёдингера для очень больших и сложных молекул. В следующих главах рассказывается о формах молекул. Решение уравнения Шрёдингера для молекулы даёт её энергетические уровни и волновые функции. Волновые функции содержат информацию, необходимую для определения формы молекул.

Энергии различных состояний атома водорода описываются единственным квантовым числом n. Однако в действительности есть четыре квантовых числа, связанных с электронами в атомах. Они появляются при решении задачи об атоме водорода в рамках квантовой теории. Одно из них существенно лишь для атомов и молекул, имеющих более одного электрона. В этом смысле атом водорода является частным случаем, поскольку в нём всего один электрон. Для атома водорода, помимо главного квантового числа n, есть ещё два квантовых числа — l и m. Число l называется орбитальным квантовым числом, m — магнитным квантовым числом. От них в сочетании с квантовым числом n зависит, сколько различных состояний связано с конкретным значением энергии, они также определяют форму волновых функций. Четвёртое квантовое число обозначается s. Его называют спиновым квантовым числом.

Когда Бор решал задачу об атоме водорода, в рамках старой квантовой теории считалось, что электрон движется по орбитам, имеющим разные формы и значения энергии. Корректное квантовое решение Шрёдингера для атома водорода даёт энергетические уровни и волновые функции, которые соответствуют боровским орбитам и называются «орбиталями». Обсуждая атомы и молекулы, мы часто используем термины «волновая функция» и «орбиталь» в качестве синонимов. Орбитали являются волнами амплитуды вероятности, которые подчиняются принципу неопределённости Гейзенберга, чем отличаются от боровских орбит.

Как уже отмечалось выше, главное квантовое число n может принимать целочисленные значения n>=1, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее, а l может принимать значения от 0 до n– 1 с целым шагом. Число m может иметь значения от l до – l с целым шагом. Наконец, число s может принимать только два значения: + 1/2 и - 1/2 . Сводка возможных значений квантовых чисел приведена в таблице ниже.

По историческим причинам состояния с различными значениями квантового числа l имеют индивидуальные обозначения. Состояние l=0 называется s– орбиталью. При l=1 говорят о p– орбитали, при l=2 — это d– орбиталь, а при l=3 — f– орбиталь. Для обсуждения всех атомов нам не понадобится заходить далее f– орбиталей, то есть l=3. Как показано ниже, различные орбитали имеют разные формы.

Поскольку энергии состояний (орбиталей) атома водорода зависят только от квантового числа n, для n>1 имеется более одного состояния с одинаковой энергией. Для n=1 имеем l=0 и m=0 (см. таблицу), поэтому существует единственная орбиталь с n=1. Для этой орбитали l=0, так что её обозначают как 1s– орбиталь. Для n=2 число l может быть равно 0, что даёт 2s-орбиталь. Однако для n=2 число l также может равняться 1. При l=1 число m может быть равно 1, 0 или -1 (см. таблицу). При l=1 — это p– орбиталь, причём существуют три разные p– орбитали, обозначаемые 2p1, 2p0 и 2p– 1. Здесь 2 — это главное квантовое число n, p означает l=1, а три индекса— это три возможных значения m. Таким образом, для n=2 существует четыре различных состояния.

Если n=3, то l может быть равно нулю, что даёт 3s– орбиталь. Также l может быть равно 1, что при m = 1, 0 и -1 даёт орбитали 3p1, 3p0, и 3p– 1. Кроме того, l может быть равно 2. Для l=2 число m может иметь значения 2, 1, 0, -1 и -2. Это d– орбитали: 3d2, 3d1, 3d0, 3d– 1 и 3d– 2. Всего имеется пять d– орбиталей. Таким образом, для n=3 имеется девять различных состояний: одна s– орбиталь, три p– орбитали и пять d– орбиталей. Когда n=4, есть 4s– орбиталь, три различные 4p– орбитали (4p1, 4p0 и 4p– 1), пять различных 4d– орбиталей (4d2, 4d1, 4d0, 4d– 1 и 4d– 2). Дополнительно имеется семь f– орбиталей: 4f3, 4f2, 4f1, 4f0, 4f– 1, 4f– 2 и 4f– 3. Таким образом, для n=4 имеется в общей сложности 16 состояний: одна s– орбиталь, три p– орбитали, пять d– орбиталей и семь f– орбиталей.

Как уже говорилось, каждая из этих орбиталей имеет свою форму. Довольно часто орбитали называют в соответствии с их формой. Например, три различных 2p– орбитали, вместо того чтобы обозначать их 2p1, 2p0 и 2p– 1, называют 2px, 2pz и 2py. Связь между этими индексами и формами прояснится, когда мы познакомимся с соответствующими формами.