Шрифт:
С помощью современных методов вычислений было выяснено, что результат Гаусса для простых чисел меньше 1016 отличается от верного значения едва на одну десятимиллионную от 1 %, в то время как результат Лежандра дает отклонение в несколько тысяч миллионов раз больше. Мы можем утверждать, что Гаусс, основываясь на рассуждениях математического характера, превзошел Лежандра, который просто подобрал формулу для доступных ему данных.
Кроме этой первой гипотезы о том, что функция может быть точно оценена функцией Li(N) для бесконечных значений N, Гаусс вывел и вторую гипотезу, поскольку считал, что функция Li(N) в конце концов будет переоценивать реальное количество простых чисел (всегда на бесконечно малый процент) и что эта тенденция будет сохраняться. Это второе утверждение получило название второй гипотезы Гаусса. Доказать ее или опровергнуть было непростой задачей, поскольку в то время еще не было современных компьютеров, которые могли совершить необходимые вычисления. Подтвердить или опровергнуть гипотезы Гаусса можно с помощью строгого математического доказательства: нельзя ограничиться экспериментальным подтверждением, поскольку какой бы длинной ни была составленная таблица простых чисел, всегда будут сомнения в том, сохранится ли эта тенденция по мере продвижения ко все большим числам. Для математики возможности экспериментальной проверки на невообразимо больших числах недостаточно, и в этом ее отличие от других наук.
В проверке гипотез Гаусса заметную роль играл Бернхард Риман, которого можно назвать его лучшим учеником.
В 1809 году Вильгельм фон Гумбольдт (1767-1835) стал министром образования Пруссии и совершил революцию в образовательной системе. Изучение математики впервые получило большое значение в новых гимназиях и университетах, студентов воодушевляли изучать математику как таковую, а не только в качестве вспомогательной дисциплины на службе у других наук. Но эта тенденция весьма отличалась от французского подхода, в котором превалировало утилитарное знание. Одним из тех, кому удалось воспользоваться этим изменением, был Риман, на тот момент один из самых способных студентов-математиков в Германии. После окончания учебы в Люнебурге (государство Ганновер), следуя желанию своего отца-священнослужителя, он в 1846 году поступил в Гёттингенский университет, который славился преподаванием теологии. Так судьба свела Римана с уже пожилым Гауссом. Через некоторое время молодой студент убедил своего отца разрешить ему заменить изучение теологии на математику. Риман в течение двух лет учился в Берлинском университете, поскольку в Гёттингене, по его мнению, было мало интеллектуальных стимулов, помимо Гаусса. В Берлине он завязал общение с Дирихле, который предложил студенту первые задачи с простыми числами. Во время пребывания в Берлине Бернхарду удалось изучить записи Гаусса с гипотезами о простых числах.
Риман вернулся в Гёттинген в 1849 году, чтобы закончить докторскую диссертацию и отдать работу на оценку своему учителю, Гауссу. Он сделал это в 1854 году, за год до смерти наставника.
Когда Риман начал заниматься простыми числами, нужно было доказать еще две гипотезы Гаусса. Во-первых, что функция может быть точно выражена Li(N) для любого N, то есть что разница между ними является бесконечно малой, таким образом, ее предел стремится к нулю. И во-вторых, что Li(N) > для любого значения . Чтобы взяться за проблему, Риман ввел знаменитую дзета-функцию, которая определяется следующим образом:
где z — комплексное число, отличное от 1. У этой функции есть значения, в которых она равна нулю, такие как z = -2, z = -4 и другие, известные под названием тривиальных нулей. Нетривиальные нули — это те, для которых действительная часть строго больше нуля, но строго меньше 1. Вспомним, что комплексное число всегда имеет вид а + bi где а и b — действительные числа. Итак, для нетривиальных нулей справедливо 0 < а < 1.
Риман своим определением всего лишь обобщил функцию, изученную Эйлером, который обозначил ее так же:
Разница между дзета-функцией Римана и функцией Эйлера состоит в области определения. Для Эйлера х имеет действительное значение, в то время как у Римана z — комплексное число. Следовательно, функция Эйлера принимает действительные значения, в то время как функция Римана принимает комплексные значения.
Интерес математиков к этой бесконечной сумме, известной как ряд, происходит из мира музыки, и этот ряд появился раньше исследований Эйлера, хотя именно он изучил его наиболее глубоко и нашел связь с простыми числами. Пифагор заметил, что звук, издаваемый сосудом с водой, зависит от количества содержащейся в нем жидкости. Оказалось, что звуки гармоничны, если количество воды является частью от целого, дробью с числителем 1, то есть 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Пифагор назвал этот ряд гармоническим. Сумма гармонического ряда равноценна тому, что в дзета-функции Эйлера х взяли равным 1. Можно доказать, что сумма этого ряда бесконечна. На первый взгляд это очевидный результат, поскольку если мы сложим бесконечное количество положительных чисел, сумма будет расти и в конце концов примет бесконечное значение. Но дело в том, что это не так: для х = 2 ряд расходится. Действительно, Эйлер доказал, что значение
В истории математики не всегда было ясно, будет ли сумма бесконечного числа положительных членов обязательно равна бесконечности, и даже появились философские теории, посвященные этому.
Первый большой результат, связывающий дзета-функцию с простыми числами, был получен Эйлером в 1737 году. Он утверждает, что
где х — действительное число, а Р — множество простых чисел. В формуле сумма заменяется произведением дробей, образованных простыми числами. Чтобы дойти до этого результата,
Эйлер разложил каждый член ряда на произведение простых чисел. Например,
1/90 = 1/2 1/З^2 1/5
Риман глубоко изучил функцию, введенную Эйлером, а также расширил сферу применения функции от действительных к комплексным числам.
Когда область определения расширяется до комплексных чисел, с функцией становится намного сложнее работать. Для начала, ее невозможно представить графически.
Зенон Элейский (ок. 490 — ок. 430 до н.э.) — древнегреческий философ, который создал ряд парадоксов, или апорий, чтобы поддержать учение своего учителя Парменида, утверждавшего, что ощущения, которые мы получаем о мире, иллюзорны. В частности, с помощью логических рассуждений Зенон пытался доказать, что физического движения не существует. Действующими лицами самого известного его парадокса являются легконогий Ахиллес и черепаха, соревнующиеся друг с другом. Поскольку воин бегал намного быстрее, он дал черепахе большую фору. После старта Ахиллес пробежал расстояние, которое разделяло соперников изначально, но по прибытии туда обнаружил, что черепахи там уже нет, она уже продвинулась вперед на небольшой кусок. Не падая духом, герой продолжил бег, но когда он пришел на то место, где была черепаха, та снова продвинулась. И так происходило до бесконечности. Таким образом, Ахиллес так и не догнал черепаху. Вывод очевиден: поскольку наши ощущения говорят нам, что Ахиллес догонит черепаху, значит, наши ощущения обманывают нас, и Парменид был прав. Однако рассуждение Зенона легко опровергается. Промежутки времени, за которое Ахиллес пробегает расстояние, отделяющее его отточки, в которой только что находилась черепаха, каждый раз все меньше, и их сумма дает конечный результат, так что человек догонит черепаху. Предположим, что Ахиллес дает черепахе изначальное преимущество в D и что воин бежит со скоростью, которая только вдвое больше скорости черепахи. Когда Ахиллес прибежит в то место, где была черепаха, животное преодолеет (1/2)D пути. Повторим рассуждение: когда Ахиллес проходит D + (1/2)D, черепаха продвигается еще на (1/4)D. Если представить это в математическом виде, то расстояние, которое должен пройти Ахиллес, чтобы догнать черепаху, задано суммой
D+D/2+D/4+D/8+...
Так что в худшем случае получается, что Ахиллес должен пробежать
но по результату Эйлера мы знаем, что сумма ряда конечна и на самом деле она равна ^2/6, поэтому расстояние, которое должен пробежать Ахиллес, также конечно. Более того, расстояние, которое он пробегает до того, как догнать черепаху, — обозначим его через d — равно