Гаусс по-прежнему проводил магнитные и астрономические наблюдения, результатами которых потом делился с другими учеными. Он также посвящал себя теоретическим проблемам математики, однако более элементарного характера нежели те, что занимали ученого в предыдущие годы. Гаусс также увлекся некоторыми задачами комбинаторики, которые ставил перед ним его друг Шумахер, и некоторыми проблемами теоретической и прикладной физики. Также он уделял время изучению новых языков.

Ученики Гаусса Георг Кантор (1845- 1918) и Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831-1916), а также Готлоб Фреге (1848-1925) были создателями теории множеств — области математики, которая лежит в основе значительной части математической науки. Благодаря смелым и дерзким исследованиям Кантор был первым, кто формализовал понятие бесконечности. Так, он открыл, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. Так, множество рациональных чисел счетно, то есть можно установить связь его элементов с натуральными числами, в то время как множество иррациональных чисел несчетно. Кантор страдал от депрессии, частично вызванной суровой критикой, особенно со стороны его коллеги Леопольда Кронекера (1823-1891), который называл Кантора «ренегатом», «шарлатаном» и даже «развратителем обучающейся молодежи». Сегодня все математическое сообщество полностью согласно с тем, что работа Кантора была важным качественным скачком в логических рассуждениях. В свою очередь, Рихард Дедекинд сильно повлиял на развитие в области алгебры и теории алгебраических чисел. Говорят, что он первый давал в университете занятия по теории Галуа. Кроме того, Дедекинд первым понял фундаментальное значение понятий группы и идеала для алгебры, теории чисел и алгебраической геометрии.

Георг Кантор.

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд.

В 1849 году, в связи с 50-летием своей докторской диссертации, Гаусс прочел знаменитую лекцию, где представил четвертое доказательство основной теоремы алгебры, уже открыто включив в него комплексные коэффициенты, которые не хотел показывать в своих первых работах. Это вызвало всеобщий энтузиазм в немецкой и европейской науке.

Одна из самых любопытных работ Гаусса в эти годы была посвящена пенсионному фонду для вдов преподавателей Гёттингенского университета. Ученый хотел проверить, можно ли долгосрочно поддерживать уровень обеспечения. Он пользовался таблицами смертности и другой информацией, полученной в страховых компаниях. Для своих первых вычислений Гаусс воспользовался всеми реальными данными, которые были в его распоряжении. Он представил заключение в 1851 году, после шести лет работы, и оно было довольно удивительным: деятельность пенсионного фонда была организована рационально и даже позволяла увеличить выплачиваемые суммы. Гаусс так заинтересовался этой темой в том числе и потому, что она позволила ему применить знания практической экономики. В отличие от Ньютона, Гаусса никогда не привлекали государственные должности, хотя его острый ум и проницательность во всех вопросах, связанных с изучением статистики, страхования и политической арифметики, сделали бы из него отличного государственного деятеля. В своей книге Gauss zum Gedachtniss («Мемуары о Гауссе») Сарториус фон Вальтерсгаузен (1809-1876), близкий друг ученого, написал, что тот вполне мог бы заниматься государственным бюджетом. Действительно, более чем средний достаток ученого был результатом его успешных вложений в акции компаний и ценные бумаги, причем не только немецкие. И это несмотря на его разорительное вложение в железнодорожную линию на севере Гессена, когда из-за национализации Гаусс потерял 90% инвестиций.

В последние годы жизни он был похож на идеального буржуа, консервативного представителя среднего класса. Что касается религиозных убеждений ученого, то его нельзя было считать атеистом, скорее его можно назвать деистом, поскольку он принимал разумом существование Бога. Подобные представления выглядели инакомыслием в эпоху Гаусса. Он был противником либеральных идей протестантской церкви Германии, и важной частью картины мира ученого была вера в гармонию и целостность великой идеи сотворения. Самые личные письма Гаусса подтверждают, что он свято верил в бессмертие души и существование жизни после смерти, но не совсем так, как об этом говорило христианство.

Жизнь предстает передо мной как вечная весна в новых, ярчайших красках.

Карл Фридрих Гаусс

Ученого сильно привлекала английская литература, и особенно исторические романы сэра Вальтера Скотта. Еще в молодости Гаусс проявил удивительные лингвистические способности, и легкость, с которой он овладевал новыми языками, сохранилась у него до последних дней. Это стало для него настоящим развлечением. Уже в пожилом возрасте Гаусс захотел проверить гибкость своего ума, выучив новый язык. Он считал, что это поможет ему поддерживать разум молодым, а кроме того, ученый хотел читать новые работы Лобачевского, не дожидаясь перевода. И вот в 68 лет без чьей-либо помощи Гаусс начал изучать русский язык. Через два года он уже с легкостью читал на русском языке прозу и стихи и составлял письма своим друзьям-ученым в Санкт-Петербург. По мнению гостей из России, которые навещали Гаусса в Гёттингене, говорил он также прекрасно. Сам Гаусс отмечал, что русская литература доставляет ему такое же удовольствие, как и английская.

Словом, никак нельзя сказать, что в конце жизни ученый замкнулся в своем собственном мире. Гаусса интересовала мировая политика — ей он посвящал один час в день; исследователь регулярно ходил в библиотеку и был в курсе последних новостей, читая все газеты, которые получал, от лондонской «Таймс» до местных журналов.

В политике он был явным консерватором, но не реакционером: ученый не противился реформам, но требовал очень стротого логического обоснования их необходимости. Прогрессивные друзья объясняли консерватизм Гаусса замкнутым образом жизни, который предполагала его работа. Возможно, частично это так. За последние 27 лет своей жизни ученый только один раз ночевал не в обсерватории — в этот день он по просьбе Александра фон Гумбольдта присутствовал на научной конференции в Берлине.

Ничто не могло бы мне так льстиво и так безошибочно доказать, что привлекательность этой науки, которая наполнила мою жизнь такой радостью, это не призрак, как то, что Вы сочли за честь выбрать ее в качестве своего предпочтения.

Гаусс, в ответе Софи Жермен после того, как она открыла ему свое НАСТОЯЩЕЕ ИМЯ

Эпоха, в которую протекала жизнь математика, была бурной, наполненной войнами и революциями. Власть толпы и акты политической жестокости приводили Гаусса в неописуемый ужас. Парижский переворот 1848 года, который привел к власти Коммуну, был для него настоящим кошмаром.