Шрифт:
* * *
ЗВУКИ ПЛАНЕТ
Представление о гармоничном космосе было частью классической культуры, пережившей второе рождение в эпоху Возрождения. Воплощением этого представления, которое изучали пифагорейцы, а также Аристотель и Платон, является гармония сфер. Ее суть заключается в том, что планеты при движении издают звуки, не слышимые человеком, и эти звуки являются созвучными, то есть гармоническими. Немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571–1630) изучал религию, этику, диалектику, риторику, а также физику и астрономию. Он был сторонником гелиоцентрической теории и следовал заветам пифагорейцев и Платона. В начале XVII века движение планет считалось загадочным даже в научных кругах. Считалось, что объяснить его можно было лишь волей Бога.
Кеплер пролил свет на эту загадку, открыв законы движения планет, что стало одним из величайших научных открытий всех времен. Однако этим он не ограничился и включил в свою теорию классическое представление о гармонии сфер. Так, в своей книге Harmonices Mundi («Гармония мира») 1619 года Кеплер помимо астрономических законов изложил тезис о том, что каждая планета при вращении вокруг Солнца издает звук, зависящий от ее угловой скорости. Эта угловая скорость максимальна в перигелии (точке, ближайшей к Солнцу) и афелии (точке, наиболее удаленной от Солнца) эллиптической орбиты планеты. Кеплер сравнил звуки, соответствующие перигелию и афелию орбит всех планет, а также звуки, издаваемые соседними планетами. Затем он разработал музыкальный строй и аккорды, соответствующие этим звукам. Согласно его расчетам, мелодии Венеры и Земли в разных точках орбиты отличались на полутон или менее, а мелодия Меркурия изменялась более чем на одну октаву. Кеплер был религиозным человеком, поэтому придерживался мысли, что звучание планет очень редко оказывается гармоничным — возможно, лишь единожды, в момент божественного Сотворения.
Иллюстрация из книги Harmonices Mundi Иоганна Кеплера, на которой записаны предполагаемые звуки, издаваемые планетами.
ПИФАГОР САМОССКИЙ (ОК. 570 — ОК. 490 ГГ. ДО Н. Э.)
Пифагор родился на греческом острове Самос. Вдохновленный примером философа и математика Фалеса Милетского, он совершил длительное путешествие в Египет и Месопотамию, где изучал различные науки. Путешествие побудило его создать собственную школу, в которой сочетались различные естественно-научные, эстетические и философские дисциплины. Пифагор и его последователи изучали самые разнообразные области знания: акустику, музыку, арифметику, геометрию, астрономию. Слава Пифагора и его школы была столь велика, что ему приписывается авторство одной из фундаментальных теорем геометрии — теоремы Пифагора, которая была известна на Востоке несколькими веками ранее. В виде формулы теорема Пифагора записывается так:
а2 + Ь2 = с2.
Это уравнение имеет бесконечно много целых решений, которые называются пифагоровыми тройками. Любые три числа, образующие пифагорову тройку, являются длинами сторон угольника — инструмента, используемого в сельском хозяйстве и различных ремеслах для построения прямых углов.
* * *
Таким образом, становится очевидно, что если длины струн удовлетворяют соотношению
(n + 1)/n,
то соответствующие им звуки будут гармоническими, приятными слуху. Пифагорейцы считали это доказательством прямой взаимосвязи между числами и гармонией, красотой.
Абсолютная высота звуков
Чтобы лучше понять важность открытий, совершенных пифагорейцами, следует различать абсолютную и относительную высоту звука. Каждая музыкальная нота задает высоту, в зависимости от которой звук называется низким или высоким. Высота звука определяется частотой колебаний соответствующей звуковой волны (мы поговорим об этом позже). Чем больше частота, тем выше звук. (В приложении I приводится подробное объяснение этого и других понятий музыки.)
Клавиши пианино, соответствующие низким звукам, расположены слева; клавиши, соответствующие высоким звукам, — справа.
* * *
ЛОПАЮЩЕЕСЯ СТЕКЛО И ТОНУЩИЕ МОСТЫ
Во многих художественных и мультипликационных фильмах можно увидеть, как певец берет очень высокую ноту и силой своего голоса разбивает стеклянный бокал. Это абсолютно реальное физическое явление. Твердые тела обладают собственной частотой колебаний, зависящей от материала, формы и других свойств. Источник звука испускает звуковые волны, вызывающие колебания окружающего воздуха. Если частота звуковой волны и частота собственных колебаний предмета совпадают, то амплитуда колебаний резко возрастает. Это физическое явление называется резонансом. Если при этом увеличивается акустическая энергия (иными словами, громкость звука), то амплитуда колебаний предмета становится еще больше. Струна не рвется от подобных колебаний благодаря своей гибкости. Другие тела, не столь упругие, не справляются с колебаниями и разрушаются. Именно из-за этого лопается стеклянный бокал. Известны и более серьезные случаи. 7 ноября 1940 года, спустя несколько месяцев после постройки, из-за колебаний, вызванных сильным ветром, обрушился висячий Такомский мост в американском штате Вашингтон. В авиации такое явление известно под названием флаттер.
* * *
Человеческое ухо способно различать звуковые колебания частотой примерно от 20 до 20000 герц. 1 герц (Гц) означает одно колебание в секунду. Колебания более низкой частоты называются инфразвуком, более высокой — ультразвуком. Частота звука каждой ноты является абсолютным значением, однозначно определяющим конкретную ноту. Известно, что нота ля настраивается на 440 Гц, но следует различать звук частотой 440 Гц и название, которое носит звук такой частоты. Этот звук обозначается нотой ля из соображений удобства. Эта частота была выбрана произвольно, подобно метру, который лежит в основе всей метрической системы измерений, и утверждена была похожим образом. Частота в 440 Гц была принята в качестве стандарта ноты ля в 1939 году на Международной конференции в Лондоне. Ранее это значение не было унифицированным. В разное время и в разных регионах производители музыкальных инструментов использовали разные значения. В настоящее время многие оркестры все еще предпочитают настраивать инструменты на другие частоты, и в некоторых случаях частота ноты ля достигает 444 Гц и более.
* * *
ПРОБЛЕМЫ С ПРОСТЫМ ЧИСЛОМ
В начале XX века была установлена стандартная частота ноты ля в 439 Гц. Почему же в итоге была выбрана частота в 440 Гц? Согласно гипотезе одного из членов Британского института стандартов, «частота, используемая в трансляциях ВВС, определялась осциллятором, в котором использовался пьезоэлектрический кристалл с частотой колебаний в миллион герц. Эта частота уменьшалась электронными средствами до тысячи герц, затем умножалась на 11 и делилась на 25. Так получилась частота в 440 Гц. Так как число 439 является простым, то его нельзя получить подобным способом».
* * *
Интервалы и относительная высота звуков
Перед тем как рассказать об относительной высоте звуков, следует объяснить понятие интервала. Как вы только что увидели, каждой ноте соответствует определенная частота, которая отличает эту ноту от других. Однако пифагорейцы анализировали не отдельные ноты, а отношения между ними. Две любые ноты разделяет расстояние, называемое интервалом. Существует два подхода к этому понятию. Согласно первому, интервал — это расстояние между нотами. Каждый интервал носит название в соответствии с числом нот, содержащихся в границах интервала. Так, интервал между до и фа содержит четыре ноты: до– ре– ми– фа. Интервал до — фа называется квартой. Также говорят, что расстояние между до и фа равно кварте. Уже известный нам интервал октава подчиняется этому же правилу: чтобы перейти от до к следующему до, нужно восемь нот: до– ре– ми– фа– соль– ля– си– до. Указанные выше интервалы являются восходящими. Нисходящие интервалы начинаются с более высокой ноты и читаются в обратном направлении: интервал до — ля называется терцией, так как охватывает три ступени: до– си– ля. (Полная классификация интервалов несколько сложнее. О ней подробно рассказано в приложении I.)
Согласно второму подходу, интервалы можно также представлять в численном виде как соотношение частот нот. В этом случае имеет значение не абсолютная частота звука каждой ноты, а отношение между их частотами. Тогда две ноты можно сравнить, указав разделяющий их интервал в виде отношения частот соответствующих звуков. Если, например, мы сыграем две ноты, разделенные интервалом в одну кварту, то более высокая нота будет иметь частоту, равную 4/3 частоты более низкой ноты. Если два звука разделены интервалом в одну квинту, то их частоты относятся как 3:2. Например, для ноты ля частотой 440 Гц следующая нота ми, отделенная интервалом в одну квинту, будет иметь частоту в 660 Гц.