Шрифт:
* * *
Это альтернативное расстояние называется манхэттенским расстоянием, или расстоянием Минковского, в честь немецкого математика Германа Минковского.
На более популярном языке это расстояние называют также расстоянием такси. На рисунке ниже пунктирная линия отмечает евклидово расстояние, а сумма длин вертикальных и горизонтальных отрезков соответствует расстоянию такси.
Если точка С является началом координат, то точка А имеет координаты (2, 1), а точка В — координаты (0, 5). Таким образом, евклидово расстояние составляет 4,47 единиц, а расстояние такси — 6 единиц. Обратите внимание, что положение начала координат не влияет на результат при расчете расстояний.
В математике метрикой или расстоянием между двумя точками А и В называется такое соотношение, которое удовлетворяет условиям положительности, симметрии и неравенства треугольника. А именно,
1) (A, В) >= 0, и из (A, В) = 0 следует, что А = В;
2) (A, В) = (В, A);
3) (А, В) =< (А, С) + (С, В).
Евклидово расстояние d(A, В) и расстояние такси dt(A, В) — два примера расстояний, которые удовлетворяют указанным выше условиям. В общем случае d(A, В) =< dT(A, В).
* * *
ГЕРМАН МИНКОВСКИЙ (1864–1909)
Немецкий математик Герман Минковский разработал геометрическую теорию чисел — геометрический метод решения задач из теории чисел. В 1907 г. он понял, что специальная теория относительности Эйнштейна может быть лучше выражена в терминах неевклидовой геометрии четырехмерного пространства. Это пространство с тех пор называется пространством Минковского. В нем время и пространство являются взаимосвязанными измерениями и образуют четырехмерное пространство, так называемое пространство-время. Именно таким подходом позже воспользовался Эйнштейн при работе над общей теорией относительности.
* * *
В евклидовой геометрии имеется признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, который работает следующим образом.
Пусть у нас имеются два треугольника АВС и А1В1С1 со сторонами соответственно АВ, АС, ВС и А1В1, A1C1, B1C1. Тогда, если АВ = A1B1, АС = А1С1 и угол ВАС равен углу В1A1С1, то сторона ВС равна стороне B1C1, то есть треугольники равны.
Другими словами, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то третьи стороны в треугольниках также будут равны. Такие треугольники равны. Однако этот очевидный результат оказывается ложным в геометрии такси.
Рассмотрим треугольники с вершинами А = (3,1), В = (1, 3), С = (5, 3) и А1 = (4, 4), В1 = (8, 4), С1 = (4, 0), как изображено на рисунке:
Можно показать, что
dT(A, B) = 4 = dT(A1, B1),
а также
dT(A, C) = 4 = dT(A1, C1),
Таким образом, по формуле расстояния такси b = b1 и с = с1. Обратите внимание, что угол ВАС также равен углу В1А1С1 (в данном примере они равны 90°). Несмотря на выполнение условий признака равенства, стороны а и а; наших треугольников имеют разную длину. Это совершенно разные треугольники, так что для них признак равенства треугольников из евклидовой геометрии не работает.
Круги встречаются повсеместно, как в естественных, так и в искусственных мирах, и, следовательно, это, пожалуй, простейшая из геометрических фигур, и ее легче всего описать. Подумав о круге, мы сразу вспоминаем множество круглых объектов, так что нам совсем нетрудно представить себе эту форму. Например, если взять колесо велосипеда, очевидно, что все спицы имеют одинаковую длину, иначе было бы невозможно на нем ездить. Все спицы одинаковой длины, потому что все точки на ободе находятся на одном и том же расстоянии от центра. Теперь сформулируем точное определение окружности на плоскости.