Шрифт:
Параметры нормальной кривой. Колоколообразная кривая характеризуется двумя параметрами: средним и стандартным (среднеквадратичным) отклонением (СКО). Среднее является центром кривой. Обычно его называют средним арифметическим. Оно вычисляется делением суммы значений на их количество. Среднеквадратичное отклонение определяет ширину кривой. СКО можно также описать как критерий «отклонения от среднего». Две эти характеристики играют ключевую роль в большей части концепций теории вероятности.
Другие критерии средней величины для совокупности данных – медиана, величина, стоящая в середине упорядоченного по возрастанию списка данных, и мода – величина, чаще всего встречающаяся в выборке.
Как и в случае биномиального распределения, сумма всех исходов, представленная площадью под кривой, равна 100 %. Особенность нормальной кривой заключается в том, что для любого среднеквадратичного отклонения от среднего или центра вероятность события одинакова, независимо от формы кривой.
Пример нормального распределения из розничной торговли. Эл Банди, владелец обувного магазина, хочет быть уверен, что на складе имеются запасы обуви любого размера. Он купил в Академии ног данные по частоте женских ног и получил результаты проведенного Академией опроса.
На миллиметровке Банди расположил эти данные и получил нормальное распределение. Он также ввел данные в свой калькулятор и нажал кнопку «стандартное отклонение». Ответ был «2». Эл также проверил среднее арифметическое для всей совокупности ответов по размерам и получил ответ «7». Посмотрев на кривую, он увидел внушающее доверие нормальное распределение (рис. 5.17).
Как только Эл распознал кривую, он смог применить законы нормального распределения. Площадь участков под нормальной кривой всегда описывается формулой:
1 СКО = 0,3413
2 СКО = 0,4772
3 СКО = 0,49865
4 СКО = 0,4999683
Если мистер Банди, учтя эти данные, запасет размеры с 5-го по 9-й, он сможет удовлетворить потребности 68,26 % (0,3413 x 2) покупательниц. Расширив ассортимент склада с 3-го по 11-й размеры, он сможет обуть 95,44 % женщин. Если же Эл будет иметь на складе размеры с 1-го по 13-й, 99,73 % клиентов уйдут от него с покупкой. Для тех, у кого размер меньше 1-го или больше 13-го, он может сделать специальный заказ.
Естественно, таблицы нормальных распределений составлены для определения вероятности любой конкретной точки на кривой (с учетом нецелочисленных СКО). Для пользования таблицами необходимо рассчитать значение Z.
Пример использования нормальной кривой в финансовой деятельности
Давайте применим новые правила теории вероятности к финансовой деятельности. Ежемесячная прибыль на колеблющиеся акции компании Pioneer Aviation представлена в виде кривой нормального распределения. Сводные данные по прибыли в ретроспективе показывают, что среднее равно 1 %, а СКО (разброс) – 11 %. Джеральд Расмуссен хочет узнать, какова вероятность получить в следующем месяце прибыль менее 13 %.
Используя формулу расчета Z, мы можем составить формулу:
Таблица нормального распределения, которую я привожу в Приложении, говорит нам, что 1,09 СКО равно 0,3621. Площадь участка под всей левой половиной кривой равна 0,5000, так как она представляет половину распределения. Это верно в любой ситуации. Вероятность попадания в точку, находящуюся выше или ниже центра или среднего нормального распределения, равна 50 %. Исходя из приведенных данных, определяем вероятность того, что прибыль на акции окажется ниже 13 %: 0,3621 + 0,5000 = 0,8621, и, с другой стороны, – что она окажется выше 13 %: 1–0,8621 = 0,1379. Это реальный ответ на реальную деловую задачу с использованием инструмента статистики.
Статистика не трудна, если не напирать чересчур на теорию. Существуют и другие распределения, но их редко используют в бизнесе. Распределение Пуассона сходно с нормальным распределением, но имеет удлиненный хвост в правой части графика. Однако в большинстве случаев распределение считается нормальным, так как это позволяет использовать правила стандартного отклонения.
Кумулятивные функции распределения
Кумулятивная функция распределения дает интегральную картину распределения вероятности. Она рассматривает функцию вероятностной меры типа колоколообразной кривой и задает вопрос: «Какова вероятность того, что результат окажется меньше или равен такому-то?» Нормальная кривая показывает вероятность конкретного значения, a кумулятивная функция – вероятность данного спектра значений. Кумулятивная функция позволяет объединить понятие о неопределенности (теорию вероятности) с нашим инструментом для принятия решений (дерево решений). Она охватывает весь спектр возможных исходов при анализе переменных с множественными значениями.