Установив истинную форму Земли, можно было подтвердить правоту Ньютона или Декарта. Париж в эти годы стал центром притяжения европейских математиков. В 1733 году астроном Луи Годэн (1704-1760) предложил измерить длину градуса меридиана на уровне экватора. В следующем году с этой целью в вице-королевство Перу, находившееся под властью испанской короны, направилась экспедиция. Одновременно Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698-1759), ассистент математика Алекси Клода Клеро (1713-1765), осуществил экспедицию в Лапландию, чтобы измерить длину градуса меридиана на уровне Северного полюса. Вернувшись в Париж даже раньше предусмотренного срока, 13 ноября 1737 года оба исследователя торжественно заявили перед Академией наук, что в результате измерений был подтвержден тот факт, что Земля имеет форму сфероида, приплюснутого на полюсах. Таким образом, прав оказался Ньютон.

Слева: Земля согласно Ньютону в форме тыквы. Справа: Земля согласно Декарту в форме дыни.

Сторонники Ньютона выиграли важную битву, но еще не всю войну. Декарт, с его вихрями и невидимыми тонкими материями, объяснял все, но ничего не предсказывал. А вот Ньютон, напротив, с его законом притяжения, мог предвидеть многое, но почти ничего не объяснял. Происхождение силы тяготения оставалось загадкой, но возможность использовать теорию Ньютона для прогнозирования позволила этому ученому одержать победу над Декартом. С этого момента на первый план в науке выходит эффективность.

Однако вопрос о форме Земли не был решен окончательно. Выяснилось, что хотя планета и приплюснута на полюсах, она не имеет четкой формы сфероида. Ее вид постоянно меняет сила тяготения, пример тому — отливы и приливы. Начиная с этого момента исследования силы тяготения расширялись.

В январе 1783 года молодой математик Адриен Мари Лежандр представил членам Академии результаты своей работы, касавшейся воздействия силы тяготения на сфероиды. Лапласу поручили прочитать эту работу и составить ее краткое резюме. В марте ученый представил Академии восторженный отчет. Безусловно, работа Лежандра побудила Лапласа начать собственные исследования этого вопроса. Немного позже он представил любопытный доклад — первую публикацию под собственным именем {«Теория притяжения сфероидов и фигуры планет», 1784), в которой обобщал наработки Лежандра, хотя и ни разу не ссылался на него. Лаплас проявлял подобную бестактность еще до вступления в Академию, когда позаимствовал идеи Эйлера и Лагранжа, не упоминая их имен. И этот случай не будет последним. Лаплас опубликовал свою работу раньше, чем Лежандр, который подчеркивал:

«Должен отметить, что дата моего сочинения более ранняя, и новое доказательство позволило господину Лапласу углубить это исследование». Что же такого было в работе Лежандра, сразу заинтересовавшей Лапласа? Именно в этом труде впервые было упомянуто то, что сегодня называют многочленами Лежандра (и что несправедливо называли функциями Лапласа в течение доброй части XIX века), — специальные функции, появляющиеся при решении дифференциальных уравнений. Точнее, они появлялись в решении одного уравнения, важного для небесной механики, которое мы сегодня называем уравнением Лапласа.

«Если француз приедет в Лондон, он найдет здесь большое различие в философии, а также во многих других вопросах. В Париже он оставил мир, полный вещества, здесь он находит его пустым. В Париже Вселенная заполнена эфирными вихрями, тогда как тут, в том же пространстве, действуют невидимые силы. В Париже давление Луны на море вызывает отлив и прилив — в Англии же, наоборот, море тяготеет к Луне. У картезианцев все достигается давлением, что, по правде говоря, не вполне ясно, у ньютонианцев все объясняется притяжением, что, однако, немногим яснее. Наконец, в Париже Землю считают вытянутой у полюсов, как яйцо, а в Лондоне она сжата, как тыква...»

Лапласианом называют оператор, являющийся обобщением на функции w = f(x, у, z, t) координат пространства и времени и равный сумме вторых производных функции от х, у, z:

w = d^2w/dx^2+ d^2w/dy^2 + d^2w/dz^2.

Лаплас посвятил много времени решениям дифференциальных уравнений математической физики, в которой появилась эта формула. Три из этих уравнений по-настоящему важны.

— w=0: уравнение Лапласа, которое отражает тот факт, что совершенное жидкое тело, в котором нет потока, является неразрушимым. Это уравнение математическим способом представляет очевидный факт: если жидкое тело является неразрушимым, количество жидкости, которая выходит в любом малом объеме и за данный промежуток времени, и то количество жидкости, которое в нем остается, — идентичны. Однако, когда это уравнение подвергается математическому рассмотрению, оно приводит к неожиданным выводам, которые далеки оттого, чтобы быть прописной истиной, и позволяют сделать некоторые прогнозы. Лаплас открыл это уравнение, когда изучал потенциал притяжения (функция, измеряющая силу притяжения, посредством которой тело любой формы притягивает определенную массу).

— Уравнение распространения тепла:

w = dw/dt.

— Волновое уравнение:

w = d2w/dt2.

Впрочем, идея этого уравнения и функции, следующей из него, — Симеон Дени Пуассон (1781-1840) и позже, в 1828 году, Джордж Грин (1793-1841) назвали ее потенциальной функцией — уже прослеживалась в работах, написанных ранее Эйлером и Лагранжем, а Лаплас первым упомянул эти две формулы в своих исследованиях тяготения. Это уравнение и эта функция сыграют фундаментальную роль в последующих работах, касающихся тепла, электричества и магнетизма. Удивительно также, что уравнение Лапласа и многочлены Лежандра необходимы для описания поведения электронов и атомов: двумя веками позже они снова появятся в фундаментальном уравнении квантовой механики — в уравнении Шрёдингера.