Слово «гномон» (в сущности, «маркер») происходит от названия вавилонского астрономического устройства для определения времени, похожего на солнечные часы [10] . Похоже, что этот аппарат привез в Грецию учитель Пифагора, естествоиспытатель Анаксимандр (ок. 611–547 гг. до н. э.). Не приходится сомневаться, что геометрические представления наставника и их применение в космологии – науке о Вселенной в целом – произвели на ученика сильное впечатление. Впоследствии слово «гномон» стало обозначать и чертежный угольник, и фигуру в виде двух полос, состыкованных под прямым углом, – если приложить ее к квадрату, получится квадрат большего размера (рис. 2). Обратите внимание, что если добавить, например, к квадрату 3 x 3 семь камешков, выложенных в форме прямого угла (гномона), получится квадрат 4 x 4, состоящий из 16 камешков. Это фигурное изображение следующего свойства: в последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9,… сумма любого количества последовательных членов (начиная с 1) всегда дает квадрат. Например, 1 = 12, 1 + 3= 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 и так далее. Такие тесные отношения между гномоном и квадратом, который он «обнимает», пифагорейцы считали символом познания в целом: знание «обнимает» познанное. Следовательно, по мнению пифагорейцев, числа не просто описывали физический мир, но и лежали в основе умственных и эмоциональных процессов.

Рис. 2

Квадраты целых чисел, которые ассоциируются с гномонами, вероятно, привели Пифагора и к формулировке его знаменитой теоремы. Это прославленное математическое утверждение гласит, что у любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, достроенного на самой длинной стороне – гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, достроенных на двух других сторонах – катетах (рис. 3). Карикатуристы под псевдонимом «Франк и Эрнест» посвятили истории открытия теоремы смешную картинку (рис. 4). Как видно на рис. 2, если добавить к квадрату 4 x 4 гномон 9 = 32, получится новый квадрат 5 x 5, то есть 32 + 42 = 52. Поэтому числа 3, 4, 5 могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. Наборы целых чисел, обладающие этим свойством (например, 5, 12, 13, поскольку 52 + 122 = 132), называются пифагоровыми тройками.

Рис. 3

Рис. 4

Мало какие математические теоремы могут похвастаться такой «узнаваемостью», как теорема Пифагора. В 1971 году, когда республика Никарагуа выбирала «десять математических формул, изменивших облик планеты» для коллекционной серии марок, теорема Пифагора появилась на второй марке (рис. 5); на первой значилось «1 + 1 = 2»).

Однако был ли Пифагор первым, кто сформулировал широкоизвестную теорему, которую ему приписывают? Некоторые древнегреческие историки в этом не сомневались. В комментарии к «Началам» Евклида (ок. 325–265 гг. до н. э.) – пространному труду по геометрии и теории чисел – греческий философ Прокл (ок. 411–485) писал: «Если мы захотим послушать тех, кто любит записывать древности, мы узнаем, что они приписывают эту теорему Пифагору и сообщают, что он принес в жертву быка за свое открытие» (здесь и далее пер. А. Щетникова) [11] . Однако пифагоровы тройки изображены и на вавилонской клинописной табличке Plimton 322, которая датируется куда более ранним временем – приблизительно династией Хаммурапи (ок. 1900–1600 гг. до н. э.). Более того, геометрические конструкции, основанные на теореме Пифагора, обнаружены и в Индии, где этим соотношением пользовались при строительстве алтарей. Несомненно, о них знал и автор «Шатапатха-брахманы», комментария к древнеиндийским священным текстам, созданного, вероятно, по меньшей мере за несколько веков до Пифагора (Renon and Felliozat 1947, van der Waerden 1983). Впрочем, не так уж важно, первым ли Пифагор сформулировал теорему, получившую его имя, – главное, что постоянно обнаруживавшая себя разного рода взаимосвязь между числами, формами и Вселенной еще на шаг приблизила пифагорейцев к детальной метафизике порядка.

Рис. 5

Важнейшую роль в пифагорейском мире играла и другая идея – понятие о космических противоположностях. Поскольку система противоположностей была основным принципом ранней ионийской научной школы, было естественно, что ее приняли пифагорейцы с их одержимостью порядком. Более того, Аристотель рассказывает, что с идеей, что все на свете уравновешено, поскольку организовано в пары, соглашался даже врач по имени Алкмеон, живший в Кротоне в те годы, когда там существовала знаменитая школа Пифагора. Главная пара противоположностей состояла из предела, выраженного нечетными числами, и беспредельного, выраженного четными. Предел есть сила, наводящая порядок и гармонию в диком необузданном беспредельном. И хитросплетения Вселенной в целом, и перипетии человеческой жизни на уровне микрокосма, как полагали пифагорейцы, состоят из пар противоположностей, которые так или иначе соотносятся друг с другом, и управляются этими противоположностями. Эта несколько черно-белая картина мира описывалась «таблицей противоположностей», которая приведена в «Метафизике» Аристотеля:

Философская концепция, выраженная в этой таблице, была распространена отнюдь не только в Древней Греции [12] . Китайские инь и ян, где инь – это отрицание и тьма, а ян – утверждение и свет, отражают такое же мировоззрение. Примерно такие же идеи проникли и в христианство, где есть понятия рая и ада (и даже в заявления американских президентов наподобие «Вы или с нами, или с террористами»). У противоположностей есть и более общий смысл – всегда считается, что смерть оттеняет и подчеркивает смысл жизни, а знание особенно заметно по сравнению с невежеством.

Не все принципы пифагорейского учения имеют непосредственное отношение к числам. Стиль жизни замкнутого сообщества пифагорейцев был основан на вегетарианстве, убежденности в метемпсихозе – переселении бессмертных душ – а также на несколько загадочном запрете употреблять в пищу бобы. Существует несколько объяснений, почему пифагорейцам нельзя было есть бобы: то ли бобы напоминают видом детородный орган человека, то ли есть бобы – все равно что есть живую душу. Приверженцы последней версии считали, что когда человек, поевший бобов, испускает ветры, то это погибшая душа словно бы испускает дух.

В книге «Philosophy for Dummies» («Философия для чайников», Morris 1999) учение пифагорейцев кратко изложено следующим образом: «Все состоит из чисел, и не ешь бобы, потому что за это получишь по первое число».

Самая старая дошедшая до нас история о пифагорейцах довольно-таки поэтична и связана с представлением о переселении души в другие живые существа (Joost-Gaugier 2006). Она сохранилась в стихах поэта Ксенофана Колофонского, жившего в VI веке до н. э.

Влияние Пифагора явно прослеживается не только в учении древнегреческих философов – его непосредственных последователей, – но и в том, как строился учебный план средневековых университетов. Семь предметов, которые там преподавали, делились на тривиум – диалектику, грамматику и риторику – и квадривиум, в который входили любимые темы пифагорейцев – геометрия, арифметика, астрономия и музыка. Небесная «гармония сфер» – музыка, которую якобы исполняли планеты на орбитах и которую, по свидетельствам учеников, слышал один лишь Пифагор, – вдохновляла равным образом и поэтов, и ученых. Знаменитый астроном Иоганн Кеплер (1571–1630), открывший законы движения планет, назвал один из своих революционных трудов «Harmonices Mundi» – «Гармонии мира». И вполне в пифагорейском духе сочинил даже музыкальные «мотивы» разных планет (это же проделал три века спустя композитор Густав Холст).