На рис. 25 ниже главной диагонали стоят нули, на главной диагонали расположен абсолютный максимум в каждой строке. Затем каждый график, в каждой строке, монотонно падает, затухает.

Оказывается, аналогичная картина затухания наблюдается и для столбцов матрицы. Это означает, что частота употребления в «главе» X(Q) имен более раннею происхождения «в среднем» тоже падает по мере удаления поколения T, породившего эти имена, от фиксированного поколения.

Для оценки скорости затухания частот удобно пользоваться усредненным графиком:

Kсред(T) = 1/(n-T), (сумма величин K(Q, P), где P — Q = T).

В этой формуле суммирование выполняется по всем парам (Q, P), для которых разность P — Q фиксирована и равна T. Другими словами, график Kсред(T) получается усреднением матрицы KT по ее диагоналям, параллельным главной. Он изображает «усредненную строку» или «усредненный столбец» частотной матрицы. Здесь T изменяется от 0 до n-1.

Конечно, экспериментальные графики могут не совпадать с теоретическим.

Если теперь изменить нумерацию «глав» в летописи, то изменятся и числа К(Q, T), поскольку возникает довольно сложное перераспределение «впервые появившихся имен». Следовательно, меняется частотная матрица KT и ее элементы. Будем менять порядок «глав» летописи с помощью различных перестановок я. Каждый раз вычислим новую частотную матрицу KsT, где sT — новая нумерация, соответствующая перестановке s. Будем искать такой порядок «глав» летописи, при котором все или почти все графики будут иметь вид, показанный на рис. 24. В этом случае экспериментальная частотная матрица KsT будет наиболее близка к теоретической матрице на рис. 25. Тот порядок «глав» летописи, при котором отклонение экспериментальной матрицы от «идеальной» будет наименьшим, и следует признать хронологически правильным и искомым.

Наш метод позволяет также датировать события. Пусть дан какой-то исторический текст Y, о котором известно только, что он рассказывает о неких событиях из эпохи (А, В), уже описанной в тексте X, разбитом на «главы-поколения», причем порядок этих «глав» в летописи X хронологически правилен. Как узнать, какое именно поколение описано в интересующем нас тексте Y? При этом мы хотим использовать только количественные характеристики текстов, не апеллируя к их смысловому содержанию, Которое может быть существенно неоднозначно и может допускать сильно разнящиеся трактовки.

Ответ таков. Присоединим текст Y совокупности, «глав» хроники X, считая при этом Y новой «главой» или приписав ей какой-то номер Q. Затем находим оптимальный, хронологически правильный порядок всех «глав» получившейся «летописи». При этом мы найдем правильное место и для новой «главы» Y. В простейшем случае, построив для нее график К(Q, T), можно добиться, меняя ее положение относительно других «глав», чтобы этот график был как можно ближе к идеальному. То положение, которое Y займет среди других «глав», и следует признать за искомое. Тем самым мы датируем события, описанные в Y. Методика применима и тогда, когда рассматриваются не все имена, а только одно или несколько имен, например, какие-либо «знаменитые имена». Но в этом случае требуется дополнительный анализ, поскольку уменьшение числа используемых имен делает результаты неустойчивыми.

Метод был проверен на больших текстах с большим числом имен и с заранее известной достоверной датировкой. Во всех этих случаях эффективность метода подтвердилась.

Настоящий метод является в некотором смысле частным случаем предыдущего, но ввиду важности для датировки мы выделили прием обнаружения дубликатов в отдельный раздел. Этот метод был предложен А.Т. Фоменко в [884], [886], [888], [1129], [891], [895], [898], [901], [1130].

Пусть интервал времени (А, В) описан в летописи X, разбитой на «главы-поколения» X(T). Пусть они в целом занумерованы хронологически верно, НО СРЕДИ НИХ ЕСТЬ ДВА ДУБЛИКАТА, то есть две «главы», говорящие об одном и том же поколении, дублирующие, повторяющие друг друга. Рассмотрим простейшую ситуацию, когда одна и та же «глава» встречается в летописи X ровно два раза, а именно с номером Q и с номером R. Пусть Q меньше R. Наша методика позволяет обнаружить и отождествить эти дубликаты. В самом деле, ясно, что частотные графики К(Q, T) и К(R, T) имеют вид, показанный на рис. 26.

Первый график явно не удовлетворяет принципу затухания частот. Поэтому нужно переставить «главы» внутри летописи X, чтобы добиться лучшею соответствия с теоретическим, идеальным графиком. Все числа К(R, T) равны нулю, так как в «главе» X(R) нет ни одного «нового имени» — все они уже появились в X(Q). Ясно, что наилучшее совпадение с идеальным графиком на рис. 24 получится тогда, когда мы поместим эти два дубликата рядом или просто отождествим их.