Первые разности были 1, 3, 5, 7, 9, ... вторые — 2, 2, 2, 2, 2, ... а третьи все были нулевые. Если взять третью степень, то все четвертые разности были нулевыми, и так далее.

Он убедился, что при сложении первых членов последовательности первых разностей получается следующий член исходной последовательности, то есть при сложении двух первых членов (1 +3 = 4) получается третий член последовательности. Если сложить три первых члена 1 + 3 + 5 = 9, то получается четвертый член, и так далее.

Таким образом, анализ бесконечно малых Лейбница основывается на суммах и разностях членов последовательностей. Сумма дает нам интегральное исчисление, то есть площадь, ограниченную кривой, а разности — производную.

Лейбниц считал, что кривые сформированы из бесконечного числа прямолинейных бесконечно малых отрезков, которые составляют касательные к кривой. То есть для каждой точки у нас есть значение х, значение у и значение отрезка, соответствующего кривой; значит, у нас есть последовательности чисел, к которым можно применить сложение и вычитание.

В первой главе статьи об анализе, опубликованной Лейбницем в 1684 году в журнале "Акты ученых" под названием "Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления", ученый представил свой метод и применил его для решения задачи, поднятой картезианцем Флоримоном де Боном: нахождения кривых с постоянной подкасательной. Рассмотрим его в современной записи.

Подкасательная — это проекция на ось X отрезка от места пересечения касательной с осью X до точки касания; на рисунке на следующей странице это отрезок АВ. Мы хотим, чтобы он был постоянным и был равен с. В этом доказательстве Лейбниц использовал то, что известно как характеристический треугольник, которым также пользовались Паскаль и Барроу, с катетами dx и dy, а в качестве гипотенузы — один из бесконечно малых отрезков, которые составляли кривую.

Отрезок BQ равен у. Поскольку треугольник ABQ подобен характеристическому треугольнику:

dy/dx = y/c,

то

dy/y = dx/c.

После интегрирования этого выражения получается

ln(y) = x/c.

Следовательно, кривые с постоянной подкасательной — это кривые, заданные функцией у = ex/c, то есть экспоненциальные. Лейбниц так находил производную произведения:

"d(xy) — то же самое, что разность между двумя смежными ху, одно из которых равно ху, а другое — (х + dx) (у + dy). Тогда d(xy) = (x + dx)(y + dy)-xy = xdy + ydx + dxdy, и это равно xdy + ydx, если величину dxdy опустить, поскольку она бесконечно мала относительно остальных величин, так как dx и dy, предполагается, бесконечно малы".

Характеристический треугольник Лейбница, в котором появляются касательная к кривой и ее подкасательная.

ПОЛЕМИКА ОБ АНАЛИЗЕ

Сегодня признается, что Ньютон был первым, кто разработал принципы анализа, а Лейбниц первым опубликовал результаты. Они оба пришли к нему независимо, базируясь на одном и том же фундаменте.

Уже в 1674 году Лейбниц мимоходом упоминал в письме Ольденбургу, что он нашел квадратуру круга с помощью открытого им общего метода. А в 1675 году ученый сообщал ему, что нашел метод для решения квадратур, который можно обобщить, но не сказал ничего более подробного. В том же самом году в Париж через Лондон приехал благородный саксонец Вальтер фон Чирнхаус с письмами от Ольденбурга для Лейбница и Гюйгенса. Фон Чирнхаус работал какое-то время с Лейбницем, например над рукописями Паскаля, которые потом пропали, и знаем мы о них теперь только благодаря Лейбницу. Было ясно, что Чирнхаус не испытывал никакого интереса к анализу бесконечно малых, поэтому он ни о чем не мог проинформировать Лейбница. Чирнхаус утверждал: все, сделанное Барроу и другими английскими математиками,— лишь ответвления от того, что привнес Декарт. Чтобы оспорить это мнение, Коллинз, библиотекарь Королевского общества, написал работу примерно на 50 страниц, известную как Historiola, в которой объяснял анализ, разработанный Барроу и Ньютоном. В 1675 году он послал отрывок Чирнхаусу и Лейбницу, хотя у последнего уже был разработан собственный анализ.

В октябре 1676 года по пути из Парижа в Ганновер Лейбниц провел неделю в Лондоне. Тогда Коллинз позволил ему списать фрагменты Historiola и "Анализа" самого Ньютона.

Ньютон и Лейбниц несколько раз обменивались письмами через Ольденбурга. Пятого августа 1676 года Ольденбург отправил Лейбницу письмо Ньютона, известное как Epistola prior, через Самуэля Кёнинга, который был с визитом в Париже; послание затерялось в бумагах и дошло до адресата только 26 числа этого месяца. В этом письме Ньютон делал особенный акцент на биноме и представлял еще несколько результатов, уже известных Лейбницу, не объясняя методов, с помощью которых он их получил. Лейбниц ответил ему на следующий день, уверяя, что его метод — другой. Во время полемики о первенстве открытия анализа многие делали акцент на том, что у Лейбница было почти три недели для внимательного изучения письма до того, как он ответил.

В 1677 году ученый получил второе письмо Ньютона, Epistola posterior, в котором тот объяснял ему все о своей работе с бесконечными рядами и также говорил о своем анализе, хотя представил его в виде криптограммы, основанной на латинских словах:

"Основа этих операций довольно очевидна, но поскольку я сейчас не могу продолжить объяснение, я предпочел оставить его скрытым: 6accd et 13eff.71319n4o4orr4s8tll2vx".

Эта бессмыслица после перевода с латыни означала: "Если задано любое уравнение, включающее некоторое число величин-флюэнт, найти флюксии, и наоборот". Она дополнялась еще более распространенной анаграммой, которая даже после дешифровки давала мало информации тому, кто не был знаком с данной темой.

Вторые изобретатели не берутся в расчет.

Исаак Ньютон о Лейбнице после полемики о первенстве

ОТКРЫТИЯ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

После публикации своей первой статьи, посвященной анализу, в 1684 году у Лейбница возникли проблемы с авторством. И хотя он настаивал на том, что его метод отличается и что он нашел его до того, как познакомился с какой-либо работой Ньютона, о чем свидетельствовали письма, написанные Ольденбургу, это не помогло. Дело обострилось, когда Никола Фатио де Дюилье, ученик Ньютона, обвинил Лейбница в плагиате.