По мере развития науки область количества стала повсеместно вторгаться в область качества, пока, наконец, научно-исследовательский процесс не превратился в простое измерение и регистрацию количеств в соединении с математическим обсуждением полученных таким образом численных данных. Именно этот метод, обращающий наше внимание на те особенности явлений, которые могут рассматриваться как количества, подводит физическое исследование под воздействие математических рассуждений. В работе Секции мы будем иметь много примеров успешного применения этого метода к самым последним научным завоеваниям; сейчас же я хочу обратить ваше внимание на некоторые моменты взаимодействия между прогрессом науки и теми элементарными понятиями, которые, как это нам иногда кажется, не могут быть подвержены изменению.

Если искусство математика позволило экспериментатору заметить, что измеряемые им количества связаны необходимыми соотношениями, то физические открытия показали математику новые формы количеств, которые он никогда бы не мог себе представить.

Я считаю, что в настоящее время самым важным из методов, при помощи которых математик приносит своими работами наибольшую пользу исследователю природы, является систематическая классификация величин.

Величины, изучаемые нами в математике и в физике, можно классифицировать двумя различными способами.

Исследователь, желающий овладеть какой-либо наукой, должен освоиться с различными величинами, относящимися к этой науке. Поняв взаимную связь между этими величинами, он рассматривает их как единую систему и относит всю систему именно к этой науке. Это — наиболее естественная, с точки зрения физики, классификация, и обычно она является первой по времени.

Однако, ознакомившись с рядом различных наук, исследователь замечает, что математические процессы и ход рассуждения в разных науках так похожи один на другой, что знание им одной науки может стать чрезвычайно полезным подспорьем при изучении другой.

Вдумываясь в причины этого, он обнаруживает, что в двух различных науках он имеет дело с системами величин, в которых математическая форма связи одинакова, несмотря на то, что физическая природа их может быть совершенно различна.

Таким образом он приходит к классификации величин, основанной на новом принципе, согласно которому физическая природа величины подчинена её математической форме. Эта точка зрения характерна для математика, но по времени она следует за физической точкой зрения, так как человеческий разум может представить себе различные величины только в том случае, когда он получает их из природы.

Я не ссылаюсь здесь на тот факт, что все величины как таковые подчиняются арифметическим и алгебраическим правилам и поэтому могут быть подвергнуты тем сухим расчётам, которые, по мнению многих, составляют единственную основу их представления о математике.

Человеческий ум редко бывает удовлетворён и, конечно, не выполняет своей наивысшей функции, когда производит работу счётной машины. Учёный, математик ли он или физик, стремится составить себе и развить ясное представление о предметах, с которыми он имеет дело. Для этого он согласен проделать длинные вычисления и даже сделаться на некоторое время вычислительной машиной, если тем самым он сделает свои идеи в конечном счёте более ясными. Но если он видит, что ясные идеи нельзя получить с помощью процессов, этапы которых он, наверное, забудет, прежде чем придёт к заключению, то гораздо лучше будет, если он обратится к другому методу и попытается понять предмет исследования при помощи удачно выбранных иллюстраций, взятых из более близких ему областей.

Мы все знаем, насколько иллюстративный метод изложения популярнее, чем метод, в котором главное место занимают голые рассуждения и расчёты.

Истинно научный иллюстративный метод есть метод, который позволяет понять какое-либо представление или закон одной отрасли науки с помощью представления или закона, взятых из другой отрасли, и который, отвлекаясь вначале от различия физической природы реальных явлений, направляет мысль на овладение математической формой, общей соответствующим идеям в обеих науках.

Точность такого иллюстративного метода зависит от того, действительно ли аналогичны по форме обе сравниваемые системы идей или, другими словами, действительно ли соответствующие физические величины принадлежат к одному и тому же математическому классу. При соблюдении этого условия метод иллюстрации весьма удобен для лёгкого и приятного обучения науке; но, помимо того, признание формальной аналогии между двумя системами идей приводит к более глубокому познанию обеих, чем познание, которое можно было получить, изучая каждую систему в отдельности.

Есть люди, которые могут полностью понять любое, выраженное в символической форме сложное соотношение или закон как соотношение между абстрактными величинами. Такие люди иногда равнодушны к дальнейшему утверждению, что в природе действительно существуют величины, удовлетворяющие этим соотношениям. Мысленная картина конкретной реальности скорее мешает, чем помогает их рассуждениям.

Но большинство людей совершенно неспособны без длительной тренировки удерживать в уме невоплощенные символы чистой математики, так что если наука должна когда-нибудь стать общедоступной, оставаясь, однако, на должной высоте, то это произойдёт путём глубокого изучения и широкого применения принципов математической классификации величин, лежащих, как мы уже видели, в основе всякого истинно научного иллюстративного метода.