Шрифт:
а для сгруппированных данных, где каждое значение признака имеет свою частоту, – средняя арифметическая взвешенная:
где Xi – значение признака; fi – частота этих значений признака.
Поскольку средняя арифметическая рассчитывается как отношение суммы значений признака к общей численности, она никогда не выходит за пределы этих значений. Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые широко используются в целях упорядочения расчетов.
1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины всегда равна нулю:
Доказательство. n
Разделив левую и правую часть на
получим:
2. Если значения признака (Xi) изменить в k раз, то средняя арифметическая также изменится в x раз.
Доказательство.
Среднюю арифметическую из новых значений признака обозначим X, тогда:
Постоянную величину 1/k можно вынести за знак суммы, и тогда получим:
3. Если из всех значений признака Xi вычесть или прибавить одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на эту величину.
Доказательство.
Средняя из отклонений значений признака от постоянного числа будет равна:
< image l:href="#"/>Точно так же доказывается это и в случае прибавления постоянного числа.
4. Если частоты всех значений признака уменьшить или увеличить в n раз, то средняя не изменится:
При наличии данных об общем объеме и известных значениях признака, но неизвестных частотах для определения среднего показателя используют формулу среднеарифметической взвешенной.
Например, имеются данные о ценах реализации капусты и общей выручке за различные сроки реализации (табл. 1).
Таблица 1.
Цена реализации капусты и общая выручка за различные сроки реализации
Так как средняя цена представляет отношение общей выручки к общему объему реализованной капусты, то вначале следует определить количество реализованной капусты по разным срокам реализации как отношение выручки к цене, а затем уже определить среднюю цену реализованной капусты.
В нашем примере средняя цена будет:
Если рассчитать в данном случае среднюю цену реализации по средней арифметической простой, то получим иной результат, который исказит истинное положение и завысит среднюю цену реализации, так как не будет учтен тот факт, что большая доля в реализации приходится на позднюю капусту с более низкой ценой.
Иногда требуется определить среднюю величину, когда значения признака даются в виде дробных чисел, т. е. обратных целым числам (например, при изучении производительности труда через обратный его показатель, трудоемкость). В таких случаях целесообразно использовать формулу средней гармонической:
Так, среднее время, необходимое для изготовления единицы продукции, есть средняя гармоническая. Если Х1 = 1/4 часа, Х2 = 1/2 часа, Х3 = 1/3 часа, то средняя гармоническая этих чисел есть:
Для расчета средней величины из отношений двух одноименных показателей, например темпов роста, применяется средняя геометрическая, рассчитанная по формуле:
где Х1x Х2 … x … Х4 – отношение двух одноименных величин, например цепных темпов роста; n – численность совокупности отношений темпов роста.
Рассмотренные средние величины обладают свойством маорантности:
Пусть, например, имеем следующие значения Х (20; 40), тогда рассмотренные ранее виды средних величин будут равны:
При изучении состава совокупности о типичном размере признака можно судить по так называемым структурным средним – моде и медиане.
Модой называется наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В интервальных вариационных рядах сначала находят модальный интервал. В найденном модальном интервале мода рассчитывается по формуле:
где Х0 – нижняя граница модального интервала; d – величина интервала; f1, f2, f3 – частоты предмодального, модального и послемодаль-ного интервалов.