Так обстоит дело с понятиями, определениями и аксиомами математики. Сложнее обстоит дело с доказательствами. Во всех науках, кроме математических, доказательство всегда непосредственно связано с опытом. Это значит, что кроме той связи с опытом, без которой вообще не могло бы существовать никакое понятие, никакая аксиома, в науках этих в состав доказательства всегда входят такие части и такие данные, которые прямо предполагают обращение к опыту: к наблюдению, эксперименту и т. д.

Напротив, в математических науках доказательства (если рассматривать одну логическую их сторону, а не происхождение понятий, входящих в состав доказательств) всегда ведутся таким образом, что в ходе доказательства математику не приходится прямо обращаться к опыту, помимо тех обобщений опыта, которые уже содержатся в его понятиях, определениях и аксиомах. Иными словами, опыт входит в математические доказательства не непосредственно, как он входит в доказательства физика, химика, биолога, но лишь посредством понятий, которые образуются на основе опыта, но в своём содержании являются отвлечёнными по отношению к этому опыту.

Это различие между науками математическими и науками эмпирическими, т. е. доказывающими свои положения при участии прямого обращения к опыту, порождает различие в видах доказательства.

Доказательства математических наук, не требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и опирающиеся на опыт лишь через посредство тех обобщений опыта, которые содержатся в основных понятиях, определениях и аксиомах этих наук, называются математическими доказательствами.

Доказательства наук, необходимо требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и, таким образом, не ограничивающиеся теми обобщениями опыта, которые содержатся в их основных понятиях, называются эмпирическими доказательствами.

Из этих определений и объяснений ясно, что различие между двумя рассматриваемыми видами доказательства состоит вовсе не в том, что доказательства математических наук стоят якобы вне опыта, а доказательства эмпирических наук основываются на опыте. Все доказательства всех наук — математических так же, как и эмпирических,— предполагают опыт в качестве необходимой и последней основы и в качестве критерия истинности всех своих положений.

Различие между этими двумя видами доказательства обусловлено только тем, что в одном случае самим ходом доказательства требуется прямое обращение к данным опыта, в другом же для осуществления доказательства достаточно той связи с опытом, которая дана уже в содержании понятий, входящих в состав доказательства. Из сказанного видно, что различие между математическими и эмпирическими доказательствами — не безусловно. Об этом свидетельствует также и следующее. Ряд наук о природе, доказывающих свои истины при помощи прямого обращения копыту, содержит в себе и такие части, в которых доказательства ведутся по методу математических наук. С другой стороны, и в математических науках математической форме доказательства часто предшествует обоснование, предполагающее прямое обращение к опыту, так что математическая форма доказательства вырабатывается впоследствии уже после того, как истинность доказываемого тезиса стала известной из опыта. Примером такого перехода от найденного в опыте результата к его математическому и дедуктивному по форме обоснованию может быть история определения Архимедом площади параболы.

Как и всякое логическое действие, доказательство может быть правильным или ошибочным.

Первым необходимым условием правильности доказательства является истинность доказываемого тезиса по существу его содержания. В логическом строении доказательства тезис играет роль следствия, а аргументы и демонстрация — роль основания. Так как ложность следствия всегда означает ложность основания, то при условии, если доказываемый тезис ложен, всякое доказательство этого тезиса — каким бы ни был способ самого доказательства — всегда может быть только ложным. При этом ложность доказательства может быть троякая.

Во-первых, ошибка может состоять в том, что доказываемый тезис ошибочно отождествляется с другим — истинным — тезисом. В этом случае доказательство истинного тезиса может быть вполне правильным, а ошибка состоит в том, что правильное доказательство этого другого — истинного — тезиса принимается за доказательство того ложного тезиса, который хотели доказать и с которым ошибочно отождествили доказанный истинный тезис. Ошибка этого рода называется «подменой доказываемого тезиса» (её латинское название — ignoratio elenchi).

Во-вторых, ошибка может состоять в том, что доказываемый тезис выводится из ложных или из недоказанных и потому сомнительных аргументов. В этом случае демонстрация может быть логически последовательной, тезис может логически следовать из принятых аргументов, но в то же время может оказаться ложным по существу своего содержания. Ошибка этого рода называется «ошибкой ложного или сомнительного основания».

В-третьих, ошибка может состоять в том, что доказываемый тезис выводится из истинных аргументов, однако самый способ выведения, или демонстрация,— неправильный, логически ошибочный, так что доказываемый ложный тезис выводится только в силу ошибки, допущенной в ходе демонстрации. Этот вид ошибки называется «ошибкой в демонстрации, или в способе доказательства».

Само собой разумеется, порочность доказательства может быть обусловлена и соединением указанных ошибок. Например, ложность оснований может сочетаться с ошибкой в демонстрации.

Рассмотрим последовательно все три вида ошибок, возможных в доказательстве.

Ошибка подмены тезиса другим — истинным, правильно доказанным, но не тождественным с тем, который должен быть доказан, встречается очень часто. Опасность этой ошибки очевидна. Она состоит в том, что, следя за доказательством и видя, что аргументы — истинны, демонстрация — правильная, тезис — логически следует из оснований, мы можем не заметить подмены тезиса. Нам кажется, что правильно доказанный тезис и есть тот тезис, который должен быть доказан, в то время как в действительности тезисы эти — не тождественные. Но если тезисы не тождественны, то истинность и правильность доказательства одного вовсе не означает истинности и правильности доказательства другого.

Логическая суть ошибки подмены доказываемого тезиса состоит в нарушении закона тождества — в отождествлении различного, нетождественного.

Примером ошибки подмены доказываемого тезиса может быть вскрытая В. И. Лениным ошибка в рассуждении теоретика «экономизма» Мартынова. Последний хотел доказать, будто революционная партия рабочего класса не может руководить активной деятельностью различных революционно настроенных слоёв. Однако вместо доказательства этого — ложного, ошибочного, вредного — положения, Мартынов доказал другое положение. Он доказал, что в предреволюционный период различные общественные слои идут к решению задачи низвержения самодержавия «вразброд».